人教版五年级数学上册【课本】5年级第04讲_环形路线

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第四讲 环形路线    
为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆．今天我们就来学习一下环形路线问题．顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的．同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程和为一个圆周．而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周．
 这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度．如右图，AB两点间的距离就是AB间粗实线的长度．         例题1.            黑、白两只小猫沿着周长为300米的湖边跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米．若两只小猫同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第1次相遇？如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远？ 「分析」请同学们在右边的圆上，画出两只猫运动的过程．两只小猫第一次相遇需要多长时间？第二次相遇需要多长时间？那两分钟之内相遇多少次呢？


  练习1．     在420米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行．甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，那么两人第8次相遇时，距离出发点多远？从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒．第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒．由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性．同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性．若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈．如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的．如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了．在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题．例题2.            有一个周长是40米的圆形水池．甲沿着水池散步，每秒钟走1米；乙沿着水池跑步，每秒跑3.5米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行．当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回到出发点？「分析」在环形路线上，快的每追上一次慢的，就要多跑一圈．本题乙第8次追上甲时，就比甲多跑了8圈，这时怎么确定两人的位置？ 练习：2．     环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑275米．甲第4次追上乙时距离起点多少米？如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？例题3.        甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出．1分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出．请问：甲出发后多少分第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？「分析」从乙出发到甲第一次追上乙，跟从甲第一次追上乙到第二次追上乙，间隔的时间一样吗？从第几次追上开始就具有周期性了？  练习：3．     周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点．甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，速度分别是3米/秒和2米/秒．多少秒后两人第一次相遇？如果相遇后两人的速度保持不变，再过多少秒两人第10次相遇？ 总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐．在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程． 例题4. 如图，甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动．当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长．「分析」题目中的已知条件很少，只知道两个与路程有关的量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运动过程．观察你所画出的示意图，题目给出的100米和60米是图中的哪一段？如何利用这两段长度？ 练习4．     如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点．已知AB长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？
  例题5.            小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快．如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上．请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？
【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少．想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？ 【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候．应该是哪个墙角呢？
华罗庚爷爷的故事温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。人只有经过苦难磨练才有望获得成功！我国著名的数学家华罗庚爷爷的成功就得益于他的坎坷经历。少年时代的华罗庚家境贫寒，疾病缠身。18岁那年，华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来，出任金坛中学校长。华罗庚是他得意的门生。他一心要接济华罗庚。不久，经王校长介绍，华罗庚到金坛中学做了个勤杂工，负责收发信件、报纸做杂务。华罗庚做勤杂工时，手脚勤快，每天忙忙碌碌地干完事就捧起数学课本学习。王校长看在眼里，喜在心里。他为这位勤奋肯学的年轻人而感到骄傲。真是天有不测风雨。华罗庚被一场伤寒病拖垮，医生作出“无法医救”的诊断。全家人悲痛万分，王校长更是觉得十分惋惜。但是死神终究没有把他拽走，他又奇迹般地活了过来，只是左腿僵硬，落下了终身残疾。华罗庚一瘸一跛地又去上工了，做的还是老本勤杂工。一天的劳累，双腿已疼痛难忍，但是他咬咬牙，仍然沉浸在数学王国的遨游中，把疼痛抛到九霄云外去了。对华罗庚来说，枯燥无味的阿拉伯数字就象一组奇妙无比的音符，草稿纸的运算符号好比音乐演奏一样，给他带来了无穷的乐趣。他坚信，只要顽强地坚持下去，自学也能摘取数学王冠。由于他信心百倍地不懈努力，终于有一天，他的一篇数学论文发表了。机遇垂青这位下苦工夫的热心人。清华大学的数学教授熊庆来得知华罗庚的研究成果和不幸遭遇后，邀请华罗庚到清华大学工作，这就是为他成为数学家提供了广阔舞台。这就是至今成为人们美谈的熊庆来睿智识英才的故事。1985年，75岁的华罗庚爷爷带着一丝微笑和欣慰离开了他追求了一生的数学事业。他曾叮嘱人们不要忘记他曾是一位勤杂工。 作业：      甲、乙两人在600米长的环行跑道上以各自不变的速度慢跑．如果两人同时从同地相背而跑，4分钟后两人第一次相遇．已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需多少分钟？       甲、乙两人在一个周长为180米的圆形跑道上跑步．甲每秒跑5米，乙每秒跑4米．如果两人从同一点同时出发反向跑步，多少秒后第一次相遇？再过多少秒，两人第二次相遇？在10分钟内两人相遇多少次？
       有一个圆形跑道，甲、乙二人同时从同一点沿同一方向出发．当甲跑完7圈到达出发点时恰好第二次追上乙．如果甲的速度是14米/秒，那么乙每秒跑多少米？       有一个周长是80米的圆形水池．甲沿着水池散步，速度为1；乙沿着水池跑步，速度为2.2，并且与甲的方向相反．如果他俩从同一点同时出发，那么当乙第8次遇到甲时，还要跑多少米才能回到出发点？       甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点A、B开始，同时匀速反向绕此圆形路线运动．当甲走了160米以后，他们第一次相遇；在乙走过A后20米的D处又第二次相遇．求此圆形场地的周长．