人教版五年级数学上册【课本】5年级第14讲_公约数与公倍数初步

第十四讲 公约数与公倍数初步

公约数就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公约数；公倍数就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数．特别的，1为所有数的公约数．

1、2、3和6都是24和30的公约数，6是最大公约数．可以发现1、2、3和6都是6的约数．

12和18的公倍数有36、72、108、……，36是最小公倍数．可以发现36、72、108及其他公倍数都是36的倍数．

通常，我们把两个数a，b的最大公约数记为；a，b的最小公倍数记为．三个数a，b，c的最大公约数记为；a，b，c的最小公倍数记为．如：14和21的最大公约数是7，记作：；14和21的最小公倍数是42，记作：．15、10、21的最大公约数是1，记作：；15、10、21的最小公倍数是210，记作：．

在现实生活中我们常常关心几个数的最大公约数和最小公倍数，那么我们怎样来求几个数的最大公约数和最小公倍数呢？除了直接枚举之外，还有以下几种：短除法、分解质因数法、辗转相除法．

计算两个数的最大公约数及最小公倍数，最常用的方法是短除法．
 

例题1．用短除法计算：（1）（54，90），[54，90]；（2）（45，75，90）．

「分析」熟练掌握短除法即可．

用短除法计算：（1）（36，48），[36，48]；（2）（28，42，70）．

分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成．

例题2．利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数．
（1）144和250               （2）240、80和96

「分析」熟练掌握分解质因数法即可．

利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数．
（1）1024和72               （2）60、84、90和700

如果两个数都比较大，不容易看出来它们的质因数．那我们还有第三种方法：辗转相除法．

例3．利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数．
（1）377和221         （2）511和1314

「分析」熟练掌握辗转相除法即可．
 

利用辗转相除法求出3009和2537的最大公约数．


 

例题4．老师在墨莫的班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生，最后剩下5个苹果，7个梨．请问班里一共有多少名学生？

「分析」因为每个学生分到的苹果和梨都是一样多的，可知学生数是分到的苹果数和梨数的公约数．

小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个水果糖．请问小高把糖分给了多少个朋友？

在计算三个数的最大公约数时，还可以先求出两个数的最大公约数，然后再求出这个最大公约数与第三个数的最大公约数．最后求出的就是三个数的最大公约数．求三个数的最小公倍数也可以使用这个方法．

计算多个数的最大公约数和最小公倍数的方法依次递推即可．

例题5．计算（1573，1547，1859）．

「分析」这些数看上去都不好分解质因数，那我们不妨利用辗转相除法来求最大公约数．求三个数的最大公约数，可以先求其中两个的最大公约数，再求这个公约数与第三个数的最大公约数．

例题6．有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和，还能够表示成连续12个整数之和，则所有这样的数中最小的一个是多少？

「分析」能表示乘9个连续整数的和，说明这个自然数是中间数的9倍，是9的倍数．根据后面两个条件，我们还能知道这个自然数是多少的倍数呢？

画蛇添足

战国时代，楚王派大将昭阳率军攻打魏国，得胜后又转而攻打齐国。齐王派陈轸为使者去说服昭阳不要攻齐。陈轸作为说客，向昭阳讲了个故事：

楚国有个人在春祭时把一壶酒赏给门客。由于人多酒少，门客们商定，大家在地上画蛇，先画好的人就喝酒。有个门客把蛇画好了，端起酒壶想喝；但他看别人画得很慢，就想再露一手，显显自己的本领。于是，他便左手拿酒壶，右手拿画笔，边画边得意洋洋地说：“我还能给蛇添上脚呢！”

正在他添画蛇足时，另一个门客已把蛇画好了。这个门客一面把他的酒壶夺了过去，一面说：“蛇本来没有脚，你怎么能给它添上脚？添上脚就不是蛇了，所以第一个画好蛇的人是我不是你！”说完，就毫不客气地把那壶酒统统喝光了。

在现实生活中，这类事情还真不少。让我们再来看一个例子。

有人开了家饭店，由于博采众长，京、粤、川、淮扬各派名菜兼收并蓄，再加上菜肴价格比较公道，所以生意很好，天天顾客盈门，把个老板笑得合不拢嘴。

光顾这家饭店的人除了散客以外．还有不少常客，原来，这家饭店的菜单是极有特色的，一年当中任何2天的菜单决不重复。该店的伙食分成4大类：主食、特色菜、蔬菜、水果。下面便是其中的细目：
 

第一天的菜单可根据每一类的第一种排出，即第一天的菜单是花卷、烤鸭、青菜、西瓜，次日就换到第二种。当某一类的所有项目统统轮过一遍之后，便从最上面一种重新开始。比如，某一天的菜单是大米饭、佛跳墙、卷心菜和水果羹，那么，下一天的菜单便是花卷、镇江肴肉、四季豆与西瓜。

试问：这种菜单要经过多久才会出现完全重复？

生意太好了，原有的人手有点忙不过来，于是老板重金招聘了一名厨师。后者为了讨好老板，就自作主张，在特色菜项目中增加了甲鱼，蔬菜类项目中加入了北方人爱吃的韭菜。

不料这名厨师反而被老板炒了鱿鱼。有人认为，这是因为甲鱼价格高，增加了菜肴成本，触怒了老板。其实，近年来人工养殖的甲鱼价格已一降再降，在价位上已经同家常菜平起平坐，难分高下了。

你知道厨师被老板解雇的真正原因吗？

原来，按照老板的设计，菜单要隔420天才会重复一次。这一点，我们可以从4、5、7、3的最小公倍数得知。这4个数的最小公倍数是它们的乘积420，也就是说，要一年多菜单才会出现完全重复。

但厨师擅自加菜后，4、6、8、3这4个数的最小公倍数仅仅等于24！周期大大缩短了，连一个月都不到。精明的老板大光其火，又怪厨师自作主张，于是便叫他下岗了。

1. 计算：
   ，，，．
2. 计算：
   ，，，．
3. 计算：
   （1），，．
4. 有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯．问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？
5. 将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可以剪出多少块小正方形？