2024达州万源中学高二上学期10月月考数学试题含解析

万源中学高2025届高二（上）第一次月考

数学试题

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则的真子集个数为（      ）

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

2. 已知，则的共轭复数（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（    ）

A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上），且该圆锥的侧面积为，则此球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，平面，与平面的距离为，该五面体的体积为（      ）

A.  B. 6 C. 9 D.

6. 已知，且，则的最小值为（      ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

7. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时， ，则= （      ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

8. 如图，直角梯形中，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则下列结论错误的是（      ）

A. 与平面所成角的正切值为

B.

C. 二面角的大小为

D. 平面平面

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.

9. 已知点为平面外一点，则下列说法正确的是（      ）

A. 过点只能作一个平面与平行

B 过点可以作无数条直线与平行

C. 过点只能作一个平面与垂直

D. 过点只能作一条直线与垂直

10. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（    ）.

A. 众数为32

B. 第80百分位数是38

C. 平均数是40

D. 前4天的方差比后4天的方差小

11. 函数在一个周期内的图象所示，则（    ）

A. 该函数的解析式为

B. 该函数的一条对称轴方程为

C. 该函数的单调递减区间是，

D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象.

12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）

A. 直线平面

B. 三棱锥的体积为定值

C. 异面直线与所成角的取值范围是

D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为________.

14. 若向量，向量，则向量在向量上的投影向量坐标为_______

15. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．

16. 如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 如图，正方体边长为分别为中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小．

18. 某校对高一年级名学生身高进行了统计，发现这名学生的身高介于（单位：），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍．

（1）求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：）的中位数（保留位小数）；

（2）若采用分层抽样方法从前两组中抽取位同学参加某项课外活动，在这位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率．

19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，且的面积为，求的周长.

20. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

(1)求证：PA⊥BD；

(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD的体积．

21. 已知函数周期是.

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围.

22. 如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．

（1）当时，求二面角的大小；

（2）当四棱锥体积最大时，分别求下列问题：

①设平面与平面的交线为，求证：平面；

②在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．