高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式学案

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5.3　诱导公式(二)学习目标　 1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六.3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．知识点一　公式五1．角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．2．公式：sin＝cos α，cos＝sin α.思考　设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2，点P2的坐标是什么？答案　P2(y，x)．知识点二　公式六1．公式：sin＝cos α，cos＝－sin α.2．公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.思考　如何由公式四及公式五推导公式六？答案　sin＝sin＝sin＝cos α，cos＝cos＝－cos＝－sin α.预习小测　自我检验1．若cos A＝，那么sin＝        .答案　2．已知sin α＝，则cos＝        .答案　解析　cos＝sin α＝.3．已知sin α＝，α为第二象限角，则cos＝        .答案　－4．若α＋β＝且sin α＝，则cos β＝        .答案　解析　因为α＋β＝，所以β＝－α，所以cos β＝cos＝sin α＝.一、化简求值例1　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)A.   B.C．－   D．－答案　B解析　sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.(2)已知sin＝，则cos的值为        ．答案　解析　cos＝cos＝sin＝.延伸探究1．将本例(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值．解　cos＝cos＝－sin＝－.2．将本例(2)增加条件“α是第三象限角”，求sin的值．解　因为α是第三象限角，所以－α是第二象限角，又sin＝，所以－α是第二象限角，所以cos＝－，所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.反思感悟　解决化简求值问题的策略：(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．跟踪训练1　(1)已知sin＝，则cos的值等于(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　D解析　cos＝cos＝－sin＝－.(2)已知sin＝，那么cos α等于(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　C解析　sin＝sin＝sin＝cos α＝.二、证明恒等式例2　求证：＝.证明　左边＝＝＝＝，右边＝，所以原等式成立． 反思感悟　三角恒等式的证明策略对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．跟踪训练2　求证：＋＝.证明　左边＝＋＝＋＝＝＝＝右边，∴原等式成立．三、诱导公式的综合应用例3　已知cos α＝－，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f(α)＝的值．解　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.(2)f(α)＝＝tan α·sin α＝·sin α＝＝2×＝－.延伸探究1．本例条件不变，求f(α)＝的值．解　f(α)＝＝sin α＝－.2．本例条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值．解　由题意知m2＋2＝1，解得m2＝，因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－，所以sin α＝，cos α＝－.原式＝＝＝－.反思感悟　用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．解　因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，所以原式＝＝－·＝×＝2.1．sin 95°＋cos 175°的值为(　　)A．sin 5°   B．cos 5°C．0   D．2sin 5°答案　C解析　原式＝cos 5°－cos 5°＝0.2．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　C3．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)A．第一象限角  B．第二象限角　C．第三象限角  D．第四象限角答案　B解析　由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.4．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos＝        .答案　解析　由题意得sin α＝－＝－，所以cos＝－sin α＝.5．化简：sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝        .答案　－1解析　原式＝－sin α·sin α－cos α·cos α＝－1.1．知识清单：利用诱导公式进行化简、求值与证明．2．方法归纳：奇变偶不变，符号看象限．3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造．1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)A．a  B．－a  C．a2  D.答案　A解析　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a.2．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)A．－  B.  C.  D．－答案　A解析　∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.3．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　B解析　由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝.cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.4．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于(　　)A．－  B.  C.  D．－答案　B解析　易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.5．已知sin＝，则cos的值是(　　)A．－  B.  C.  D．－答案　B解析　因为cos＝cos＝sin＝，故选B.6．已知sin α＝，则cos＝        .答案　－解析　cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.7．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝        .答案　解析　原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋2＝1＋1＋＝.8．已知cos＝2sin，则＝        .答案　解析　因为cos＝2sin，所以sin α＝2cos α.原式＝＝＝.9．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin3＋cos3.解　(1)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，两边平方整理得2sin αcos α＝－，又<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝＝＝.(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos αsin α＋sin2α)＝－×＝－.10．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求：的值．解　∵5x2－7x－6＝0的根为x＝2或x＝－，∴sin α＝－.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－.∴tan α＝.∴原式＝＝tan α＝.11．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于(　　)A.  B.　C.  D.考点　综合运用诱导公式化简与求值题点　综合运用诱导公式求值答案　C解析　由题意，得解得tan α＝3，又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，可得sin α＝.12．化简：等于(　　)A．－sin θ  B．sin θ  C．cos θ  D．－cos θ答案　A解析　原式＝＝＝－sin θ.13．若sin＝，则cos＝        .答案　－解析　cos＝cos＝－sin＝－.14．已知sin＝，则sin＝          ， cos＝        .答案　－　解析　sin＝sin＝－sin＝－；cos＝cos＝sin＝.15．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)A．cos(A＋B)＝cos CB．sin(A＋B)＝－sin CC．cos ＝sin BD．sin ＝cos答案　D解析　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos ＝cos＝sin ，sin ＝sin＝cos .16．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解　假设存在角α，β满足条件，则由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.∴cos2α＝，∵α∈，∴cos α＝，∴α＝±.当α＝时，cos β＝，∵0<β<π，∴β＝；当α＝－时，cos β＝，∵0<β<π，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件．