人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

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【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。2.掌握判定函数和函数相等的方法。3.学会求函数的定义域与函数值。重点：函数的概念，函数的三要素。难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。一、 预习导入阅读课本60-65页，填写。1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是           ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的             ，在集合B中都有        和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作              .(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做      ，            叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做      ，函数值的集合          叫做函数的值域．显然，值域是集合B的      ．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．  (　　)(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．   (　　)(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（    ）(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（    ）(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．     (　　)2．函数y＝的定义域是                        (　　)A．[－1，＋∞)  B．[－1,0)  C．(－1，＋∞)  D．(－1,0)3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝                   (　　)A．2　　B．3　　C．4　   D．54．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．(2){x|x＞1}用区间表示为________． 题型一    函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是(　　)跟踪训练一1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是(　　)题型二   相等函数例2　试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=()2,g(x)=;(2)y=x0与y=1(x≠0);(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)=,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).其中表示相等函数的是　　　　　(填上所有正确的序号). 题型三    区间例3 已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A∩B用区间可表示为　　　　　. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为　　　　　. 2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为　　　　　. 题型四  求函数的定义域例4 求下列函数的定义域:(1)y=;　(2)f(x)=.跟踪训练四1.求函数y=的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.题型五  求函数值（域）例5 (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1；     ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝；    ④y＝2x－.跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y＝ ＋1；(2)y＝.1．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（　　）个A.个 B.个 C.个 D.个2．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（  ）A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<13．函数f（x）=的定义域为A．    B．C．    D．4．已知函数的定义域为，则的定义域为（  ）A. B. C. D.5．下列各组函数中，与相等的是（   ）A． B．C． D．6．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________．7．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求及的值．8．求下列函数的值域：（1）f（x）=；（2）f（x）=x–．   答案 小试牛刀1．（1）×  （2） ×  （3）√  （4）×  （5 ）×2．C     3．D4. (1)[10,100]　(2)(1，＋∞)自主探究例1 【答案】D跟踪训练一【答案】C例2　【答案】见解析  【解析】:(1)因为函数f(x)=()2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.跟踪训练二【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].跟踪训练三【答案】(1)(0,1)∪[2,11]　(2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0)　(2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].跟踪训练四【答案】(1) 　(2) 【解析】(1)要使函数有意义,需解得-≤x<2,且x≠0,所以函数y=的定义域为.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4,∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤.∴函数f(2x+1)的定义域是.例5 【答案】（1）  　   （2）① R  ② [2,6)  ③ {y|y∈R且y≠3}  ④   【解析】(1)　∵f (x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g (x)＝x2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6，∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.(2)　①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y＝＝＝3－. ∵≠0，∴y≠3，∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.跟踪训练五【答案】(1) [1，＋∞)　(2)【解析】(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，所以0＜≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].当堂检测 1-5．CADCD6．7．【答案】（1）的定义域为；（2）；【解析】（1）依题意，，且，故，且，即函数的定义域为.（2），.8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–，+∞）.【解析】（1）因为f（x）==2–，所以f（x）≠2，所以函数f（x）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．（2）令=t（t≥0），则x=t2–1，所以y=t2–t–1（t≥0）．因为抛物线y=t2–t–1开口向上，对称轴为直线t=∈[0，+∞），所以当t=时，y取得最小值为–，无最大值，所以函数f（x）的值域为[–，+∞）．