高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件学案及答案

【新教材】1.4 充分条件与必要条件

学案（人教A版）

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；

2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；

3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；

4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；

5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．

难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．

一、 预习导入

阅读课本17-22页，填写。

1．充分条件与必要条件

2. 充要条件

一般地，如果既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔q．此时，我们说p是q的______________，简称______________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

概括地说，(1)如果p⇔q，那么p与q______________条件．

(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

3.从集合角度看充分、必要条件

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.         (　　)

(2) 若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.        (　　)

(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.   (　　)

 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的　　　　条件.

(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的　　　　条件.

(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的　　　　条件.

3．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

题型一    充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1  指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(4)p：a＜b，q：＜1.

解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法）

(1)定义法

若p ⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件；

若pq，q ⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p ⇒q，q ⇒p，则p是q的充要条件；

若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；

若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．　

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

跟踪训练一

1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

题型二   充要条件的探求与证明

例2　 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为(　　)

A．0<x<4       B．0<x<2

C．x>0         D．x<4

(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)

(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．

跟踪训练二

2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(　　)

A．x∈(0,2)　　   B．x∈[－1，＋∞)

C．x∈(0,1)       D．x∈(1,3)

(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

题型三    利用充分、必要条件求参数的范围

例3 　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____

变式． [变条件] 【例3】本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围）

(1)化简p、q两命题，

(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，

(3)利用集合间的关系建立不等关系，

(4)求解参数范围．

跟踪训练三

3．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．

1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)

A．充分必要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)

A．a≥b＋1  B．a＞b－1

C．a2＞b2  D．a3＞b3

4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

5．下列说法正确的是________．(填序号)

①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；

②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；

③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；

6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．

8．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．

答案

小试牛刀

1．答案：(1) √　(2) ×  (3)×　

2．（1）充分（2）充分  （3）必要

3．A

自主探究

例1 【答案】见解析

【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件．

跟踪训练一

1．【答案】D

例2　【答案】（1）B    （2）见解析

【解析】(1)由x2－4x<0得0<x<4，则充分不必要条件是集合{x|0<x<4}的子集，故选B.

(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.

必要性：由<，得－<0，即<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以<的充要条件是xy>0.

法二：<⇔－<0⇔<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由<0⇔xy>0.

所以<⇔xy>0，

即<的充要条件是xy>0.

跟踪训练二

2．【答案】 （1）B     （2）见解析

【解析】（1）由x(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2) ⫋[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．

（2）证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

例3 【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))

【解析】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，

得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

所以或解得m≥9.

变式． 【答案】见解析

【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)

因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq.

则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}⫋{x|－2≤x≤10}

所以，解得0<m≤3.

即m的取值范围是(0,3]．

跟踪训练三

3．【答案】见解析

【解析】因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.

所以解得－1≤a≤5

即a的取值范围是[－1,5]．

当堂检测 

1-3．CAA

4．(－∞，1)

5．①

6．【答案】见解析

【解析】 (1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要不充分条件．

(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，

△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(3)∵四边形的对角线互相平分 四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

∴p是q的必要不充分条件．

7．【答案】见解析

【解析】由于p：x2－2x－3<0⇔－1<x<3，

－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)．

依题意，得{x|－1<x<3}⫋{x|1－a<x<1＋a}(a>0)，

所以解得a>2，

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．

8．【答案】见解析

【解析】当a＝0时，x＝－符合题意．

当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，

当a＞0时，－<0，若Δ＝4－4a≥0，

则a≤1，即0＜a≤1时，f(x)有两个负实数根．

当a＜0时，因为f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，

所以方程恒有负实数根．

综上所述，a≤1为所求．