2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)

这是一份2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空，解答等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
2．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
3．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE＝4，则EF的长是（　　）

A． B． C．1 D．6
4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（　　）

A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
6．现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．不存在 B．4 C．0 D．0或4
8．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
9．晚上，小亮走在大街上时发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m，左边的影子长为1.5m，又知自己身高1.80m，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12m，则路灯的高为（　　）

A．6.6m B．6.7m C．6.8m D．6.9m
10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
二、填空
11．若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　 　．
12．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有 　 　个．
13．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 　 　cm．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝1，则AC的长是 　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．如果P、Q两动点同时运动，那么经过 　 　秒时△QBP与△ABC相似．

16．如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为 　 　．

三、解答
17．解方程：
（1）x2+2x﹣8＝0；
（2）x（x﹣2）＝x﹣2．
18．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB＝AF•CE．

19．“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40﹣70分钟以内完成”，C表示“70﹣90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）这次调查的总人数是 　 　人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 　 　°；C类扇形所占的百分比是 　 　．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，让斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求树高AB．

21．在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，
（1）求证△ABD∽△DFE；
（2）若，求CD的长．

22．材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求x2+2x+5的最小值；
解：令x2+2x+5＝y，∴x2+2x+（5﹣y）＝0，
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0，∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）若EF＝2EQ，求矩形EFPQ的面积；
（2）设EQ＝x求矩形EFPQ的面积最大值．

23．如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C＝∠AED＝90°．
（1）观察猜想：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F．当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②∠BFC的度数为 　 　度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转△ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出线段BD的长．



参考答案
一、选择题
1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A．＝ B．2a＝3b C．＝ D．3a＝2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
3．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE＝4，则EF的长是（　　）

A． B． C．1 D．6
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∵DE＝4，
∴＝，
∴EF＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（　　）

A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m
【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，
∵小玲与大树都与地面垂直，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝，
即＝，
解得BD＝8．
故选：A．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴DE：AB＝2：5，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形对应的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
6．现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片（除卡片正面的内容不同外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．
解：设“道路自信”为A，“理论自信”为B，“制度自信”为C，“文化自信”为D，
树状图如图所示，
一共有12种等可能性，其中恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片有2种可能性，
∴恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片概率为＝，
故选：A．

【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
7．关于x的一元二次方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）
A．不存在 B．4 C．0 D．0或4
【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值．
解：∵方程x2+mx+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4m＝0，
解得：m＝0或m＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于m的一元二次方程是解题的关键．
8．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．
解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明∠BAC＝135°．
9．晚上，小亮走在大街上时发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m，左边的影子长为1.5m，又知自己身高1.80m，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12m，则路灯的高为（　　）

A．6.6m B．6.7m C．6.8m D．6.9m
【分析】首先根据已知条件求证出△FHG∽△FCE，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯CE的高度．
解：设小亮离右边的路灯为xm，则离左边的路灯为（12﹣x）m，
再设路灯的高为hm，
∵AB⊥BC，GH⊥BC，EC⊥BC，
∴△FHG∽△FCE，△KHG∽△KBA，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝
解得x＝4米，h＝6.6米，即路灯高6.6米．
故选：A．

【点评】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解．
10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【分析】首先证明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．
解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADO＝∠OBE，
∵∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝，
∴＝，∵∠BOD＝∠AOE，
∴△BOD∽△EOA，故②正确，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，
∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，
∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，
∴FD＝FB＝FE，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∵BF＝DE，
∴＝，
∴BF＝AE，故④正确，
∵∠ADO＝∠OBE，
∴∠ADO≠∠OBF，
∴无法判断△AOD∽△FOB，故①错误．
故选：D．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空
11．若＝＝＝2，且b+d+f＝4，则a+c+e＝　8　．
【分析】根据等比性质，可得答案．
解：＝＝＝2，
由等比性质，得，
a+c+e＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了比例等性质，利用了等比性质．
12．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有 　12　个．
【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3，然后根据概率公式计算即可．
解：设布袋中黄球有x个，
根据题意，得：＝0.30，
解得：x＝12，
即布袋中黄球可能有12个，
故答案为：12．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 　（5﹣5）　cm．

【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，
故答案为：（5﹣5）．
【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝1，则AC的长是 　3　．

【分析】直接利用射影定理进行计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∵∠B＝∠ACD，∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴△BCD∽△CAD，
∴，
∴CD2＝BD•AD，
∴AD＝＝＝9，
∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∵AC2＝AB•AD＝（BD+AD）•AD＝（1+9）×9＝90，
∴AC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理是解答本题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．如果P、Q两动点同时运动，那么经过 　2或0.8　秒时△QBP与△ABC相似．

【分析】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2tcm，BP＝（8﹣2t）cm，BQ＝4tcm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解．
解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2tcm，BP＝（8﹣2t）cm，BQ＝4tcm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2；
当时，△BPQ∽△BCA，即 ，解得t＝0.8；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
故答案为：2或0.8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．
16．如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为 　22　．

【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH＝2EM，HE＝2MN，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
解：如图，过G作GH⊥BC于H，
则∠HGE+∠HEG＝∠HEG+∠MEN＝90°，
∴∠HGE＝∠MEN，
∵∠GHE＝∠EMN＝90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴GH＝2EM，HE＝2MN，
设MN＝x，则HE＝2x，
∴EM＝7﹣4x，
∴GH＝2EM＝2（7﹣4x），
∴2（7﹣4x）+x＝7，
解得：x＝1，
∴EM＝7﹣4x＝3，
∴EN＝＝，
∴GE＝2EN＝，
∴四个小正方形的面积之和＝2×12+×＝22，
故答案为：22．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
三、解答
17．解方程：
（1）x2+2x﹣8＝0；
（2）x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）x2+2x﹣8＝0，
（x+4）（x﹣2）＝0，
x+4＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2；

（2）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
18．如图，▱ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F．求证：AD•AB＝AF•CE．

【分析】根据已知条件很容易就可推出△ECD∽△DAF，求出对应边的比例式，根据CD＝AB，进行相关线段的等量代换即可．
【解答】证明：
在▱ABCD中，因为AB∥DC，所以∠CDE＝∠BFE＝∠AFD，
又因为∠A＝∠C，所以△ECD∽△DAF，所以＝，
又CD＝AB，所以＝，故AD•AB＝AF•CE．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明△ECD和△DAF相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换．
19．“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“40分钟以内完成”，B表示“40﹣70分钟以内完成”，C表示“70﹣90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

（1）这次调查的总人数是 　40　人；扇形统计图中，B类扇形的圆心角是 　108　°；C类扇形所占的百分比是 　45%　．
（2）在D类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）用A类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用B类学生人数除以总人数再乘以360°，即可得B类扇形的圆心角；先求出C类学生人数，进而可得C类扇形所占的百分比．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）这次调查的总人数为6÷15%＝40（人），
扇形统计图中，B类扇形的圆心角为＝108°，
C类的学生人数为40﹣6﹣12﹣4＝18（人），
∴C类扇形所占的百分比为×100%＝45%．
故答案为：40；108；45%．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，让斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DE＝0.4m，EF＝0.3m，测得边DF离地面高度AC＝1.7m，CD＝8m，求树高AB．

【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长，加上小明同学的身高即可求得树高AB．
解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵EF＝0.3，DE＝0.4，DC＝8，
∴，
∴BC＝6m，
∴AB＝AC+BC＝1.7+6＝7.7（m），
答：树高AB为7.7m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．
21．在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，
（1）求证△ABD∽△DFE；
（2）若，求CD的长．

【分析】（1）利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论；
（2）利用△ABD∽△DFE，求出DF＝4，再证△EFC∽△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠EFD＝45°，∠B＝45°，
∴∠B＝∠EFD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，
∵∠ADF＝∠ADE+∠EDF＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE；
（2）解：由（1）知△ABD∽△DFE，
∴，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵AB＝，
∴DF＝4，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，
∵∠EFD＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC＝180°﹣45°＝135°，
又∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△EFC，
∴DC：EC＝EC：CF，即EC2＝FC•（4+FC），
∵EC＝，
∴5＝FC（4+FC），
∴FC＝1（负的已舍），
∴CD＝FC+FD＝1+4＝5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键．
22．材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求x2+2x+5的最小值；
解：令x2+2x+5＝y，∴x2+2x+（5﹣y）＝0，
∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0，∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）若EF＝2EQ，求矩形EFPQ的面积；
（2）设EQ＝x求矩形EFPQ的面积最大值．

【分析】（1）可证△AEF∽△ABC．从而得出，同时EF＝2EQ，从而可求出EQ，进而求出矩形EFPQ的面积；
（2）易得四边形EQDH为矩形，则HD＝EQ＝x，所以AH＝AD﹣HD＝8﹣x，由（1）△AEF∽△ABC，利用相似比得到EF＝﹣x+10，设矩形EFPQ的面积为S，根据矩形的面积公式得到S＝x•（﹣x+10），把它整理为关于x的方程得到5x2﹣40x+4S＝0，然后利用判别式得到S的范围，从而得到矩形EFPQ的面积最大值．
解：（1）∵AD为高，
∴AD⊥BC，
∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥PQ，∠FEQ＝∠EQP＝90°，
∴四边形EQDH为矩形，
∴HD＝EQ，
∵BC＝10，AD＝8，
∴AH＝AD﹣HD＝8﹣EQ，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∵EF＝2EQ，
∴
∴EQ＝，
∴矩形EFPQ的面积＝EF•EQ＝2EQ2＝2×＝；
（2）由题意和（1）知：BC＝10，AD＝8，EQ＝x，AH＝8﹣x，且△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴EF＝（8﹣x）＝﹣x+10，
设矩形EFPQ的面积为S，
S＝x•（﹣x+10），
∴5x2﹣40x+4S＝0，
∴Δ＝（﹣40）2﹣4×5×4S≥0，
∴S≤20，
∴矩形EFPQ的面积最大值为20．
【点评】本题考查相似三角形的应用，通过相似三角形的性质求相应线段的长，也考查一元二次方程的应用和根的判别式．
23．如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C＝∠AED＝90°．
（1）观察猜想：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，BD的延长线交CE于点F．当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　　；
②∠BFC的度数为 　45　度；
（2）类比探究：如图3，继续旋转△ADE，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出线段BD的长．

【分析】（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．证明△DAB∽△EAC，推出＝，∠ABD＝∠ACE，再证明∠BAO＝∠CEO＝45°，可得结论．
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．证明△DAB∽△EAC，可得结论．
（3）分两种情形：如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．分别求出EC，可得结论．
解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．

∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，＝，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠BAO＝∠CEO＝45°，
故答案为：，45；
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．

∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，＝，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AOB＝∠FOC，
∴∠BAO＝∠CFO＝45°，
∴＝，∠BFC＝45°；
（3）如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，

∵AE＝DE＝，AC＝BC＝，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AD＝AE＝2，
∵EO⊥AD，
∴OD＝OA＝OE＝1，
∴OC＝＝＝3，
∴EC＝OE+OC＝4，
∵BD＝EC，
∴BD＝4．
如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．

同法可得OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，EC＝3﹣1＝2，
∴BD＝EC＝2，
综上所述，BD的长为4或2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．