高中数学4.3 对数复习练习题

4.3对数

一．选择题（共5小题）

1．已知实数、，满足，，关于、下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

2．已知是定义在上的单调函数，满足，且（a）（b），若，则与的关系是　　

A． B． C． D．

3．若，则　　

A． B． C． D．

4．已知，我们把使乘积为整数的数叫做“劣数”，则在内的所有“劣数”的和为　　

A．1016 B．2018 C．2024 D．2026

5．设实数，，，满足，则的最小值是　　

A．2 B．1 C． D．

二．填空题（共4小题）

6．若存在正数，，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是　　

7．已知表中的对数值有且只有两个是错误的：

请你指出这两个错误 　　．（答案写成如的形式）

8．已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是　　．

9．已知数列满足，且，则　 　．

三．解答题（共2小题）

10．若，且，（a）且，

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求的最小值及相应的值；

（Ⅲ）若（1）且（1），求的取值范围．

11．已知，且，设函数．

（1）求的值；

（2）记为函数在闭区间，上的最小值，利用（1）中所求的值，试写出的函数表达式，并求出的最小值．

                                      4.3对数

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．已知实数、，满足，，关于、下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】，再构造函数和0比大小，可解决此题．

【解答】解：，不选；

令，

设，则，，，，

，，

故选：．

【点评】本题考查导数运算、不等式性质、考查数学运算能力，属于难题．

2．已知是定义在上的单调函数，满足，且（a）（b），若，则与的关系是　　

A． B． C． D．

【分析】设，则，由，得，令，得，解得，则，由（a）（b）（1），得到，从而，由此能求出结果．

【解答】解：是定义在上的单调函数，满足，

是一个常数，设，则，

由，得，

令，得，解得，

，（1），

（a）（b）（1），

，，

，，

解得或．（舍去），

．

故选：．

【点评】本题考查两个实数的关系的求法，考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

3．若，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知可知，，结合不等式的特点，考虑构造函数，结合函数的单调性可判断

【解答】解：，

即，

令，则

在上单调递增，且，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了利用对数函数的单调性及复合函数单调性的应用，解题的关键是构造函数并能灵活利用函数的单调性．

4．已知，我们把使乘积为整数的数叫做“劣数”，则在内的所有“劣数”的和为　　

A．1016 B．2018 C．2024 D．2026

【分析】，可得．时，；时，；若，则，不满足题意．利用数列求和公式即可得出．

【解答】解：，则．

时，；；时，；

若，则，不满足题意．

在内的所有“劣数”的和

．

故选：．

【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．设实数，，，满足，则的最小值是　　

A．2 B．1 C． D．

【分析】由可知点是曲线上的点，是直线上的点，由导数的几何意义可知，过曲线上的点且与线平行时，有最小值，然后求导，再由点到直线间的距离求解即可得答案．

【解答】解：，

点是曲线上的点，是直线上的点，

．

要使最小，当且仅当过曲线上的点且与平行时．

，

由得，；由得．

当时，取得极小值．

由，可得（负值舍去），

点到直线的距离为，则．

，

的最小值为2．

故选：．

【点评】本题考查函数最值的应用，分析得到点是曲线上的点，是直线上的点，是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．

二．填空题（共4小题）

6．若存在正数，，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是　，　

【分析】令，分类参数得，求出的值域，从而得出的范围．

【解答】解：则可化为：，令，得．

令，，

则，

则，

故为上的增函数，

又因为（e）（e），

故当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在存在最小值（e），

即的值域为，

，

所以，，

故填：，，

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．属于难题．

7．已知表中的对数值有且只有两个是错误的：

请你指出这两个错误 　，　．（答案写成如的形式）

【分析】用反证法，先假设是错误的，根据题意转化为，，，则，也是错误不符合题意；所以一定对，可知，都对．若错，则，均错，得知对，转化为，推知，均对的．

【解答】解：（1）假设是错误的，即，，

于是，也均是错误的，

这与“有且只有两个是错误的”矛盾，故假设不成立，

的对数值是正确的．

（2）由（1）知一定对，则，都对．若错，则，均错（不符），

所以对的，可得，即有，均对的．

，

表中是错的．又易知是错的，

，事实上

故答案为：，

【点评】本题主要考查对数的运算性质和反证法的应用，要注意基本步骤，先否定结论，肯定假设，推出矛盾，肯定结论，否定假设．

8．已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是　，　．

【分析】画出的图象，推导出，从而，，设（a），则（a），由此能求出的取值范围．

【解答】解：画出的图象如图：

且（a）（b），

，

，

，

，即，

，，

，，

设（a），

则（a），

则（a），得，（舍去，

当，时，（a），（a）是减函数，

当，时，（a），（a）是增函数，

（1），，

的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9．已知数列满足，且，则　100　．

【分析】由，得到数列是公比的等比数列，根据等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解即可．

【解答】解：，

，即，

．

数列是公比的等比数列．

则，

．

故答案为：100．

【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中档题．

三．解答题（共2小题）

10．若，且，（a）且，

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求的最小值及相应的值；

（Ⅲ）若（1）且（1），求的取值范围．

【分析】代入利用对数的运算性质即可得出．

利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．

（Ⅲ）由题意知：，利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：（Ⅰ），，

，．

又（a），（a）．，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

，

当，即时，有最小值．

（Ⅲ）由题意知：，

解得，

，

．

【点评】本题考查了对数的运算性质、二次函数与对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．已知，且，设函数．

（1）求的值；

（2）记为函数在闭区间，上的最小值，利用（1）中所求的值，试写出的函数表达式，并求出的最小值．

【分析】（1）由已知中，且，我们易根据换底公式得到，，进而根据对数的运算性质，构造关于的方程，解方程求出的值．

（2）根据（1）中结论，我们将问题转化为一个二次函数在定区间上的最小值问题，分类讨论后，即可得到的函数表达式，结合二次函数的性质及分段函数最小值的确定方法得到的最小值．

【解答】解：（1），

，

又，

（2）由（1）中

当，即时，

当，即时，

（2）

当时，

则

的最小值为

【点评】本题考查的知识点是换底公式的应用，函数的最值及其几何意义，其中利用换底公式和对数的运算性质，求出值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．