高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数习题，共14页。试卷主要包含了设函数且是奇函数，已知定义域为的函数是奇函数等内容，欢迎下载使用。
4.2指数函数一．选择题（共3小题）1．已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为　　A． B． C． D．2．已知函数满足（1），若函数的图象不过第二象限，则的取值范围是　　A． B．， C． D．，3．已知函数，则对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集都不可能是　　A．， B．， C．，3， D．，2，3，二．填空题（共3小题）4．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立．则的取值范围是　　．5．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：①；②；③；④上述结论中正确结论的序号是　 　．6．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的，，，都有，则实数的最大值为　　．三．解答题（共4小题）7．已知函数为常数，且的图象过点和点．（1）求函数的解析式；（2）是奇函数，求常数的值；（3）对任意的，且，试比较与的大小．8．设函数且是奇函数．（1）求常数的值；（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．9．已知定义域为的函数是奇函数．（1）求值；（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围．10．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．（1）求，的值．（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．（3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于1的自然数都成立，则称函数为“，上的函数”（其中，．试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值；若不是，则请说明理由．（注．
                               4.2指数函数参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为　　A． B． C． D．【分析】先根据基本不等式求出，的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：，，当且仅当时取等号，此时函数有最小值1，，此时，此函数可以看成函数的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知正确故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键2．已知函数满足（1），若函数的图象不过第二象限，则的取值范围是　　A． B．， C． D．，【分析】利用指数函数的单调性可得．由于函数的图象不过第二象限，可得，求解即可得答案．【解答】解：（1），，即函数的图象不过第二象限，，，的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数学转化思想方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知函数，则对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集都不可能是　　A．， B．， C．，3， D．，2，3，【分析】关于的方程的解集可能只有一个正实数根或有两个不同的正实数根，再利用指数函数类型函数的性质即可得出．【解答】解：关于的方程的解集都不可能是．下面给出证明：若此方程关于只有一个正实数根不等，则则，可以有两个不同的实数根，可能为，，或，．若此方程关于若有两个不同的正实数根，（均不等，则则或，可以有四个不同的实数根（两两对称），又，可能为，2，3，．若此方程关于若有两个不同的正实数根1，，则或，可以有三个不同的实数根，需两个关于剩余一个对称，不可能为，3，．因此关于的方程的解集都不可能是．故选：．【点评】本题考查了指数函数类型函数的性质、一元二次方程的实数根，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．二．填空题（共3小题）4．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立．则的取值范围是　　．【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立．则的取值范围是【解答】解：，当时，，又，或，在时恒成立，即在时恒成立，则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，，即，解得，实数的取值范围是：．故答案为：．【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．5．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：①；②；③；④上述结论中正确结论的序号是　①④　．【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．【解答】解：点在函数且图象上，，解得：，，①，故①正确；②，故②错误；③，在递增，故，故③错误；④故④正确；故答案为：①④．【点评】本题主要考查了指数的基本运算性质，指数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．6．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的，，，都有，则实数的最大值为　　．【分析】先求出的解析式，求出的最小值，然后分，和两种情况判断的单调性，再根据条件求出的范围，再求出的最大值．【解答】解：由的图象向右平移3个单位后可得，再向上平移2个单位，可得．当，时，是增函数，（3）．函数，当，时，是增函数，此时（5）（5），当时，单调递减，由，得，，当时，，若对于任意的，，，都有，则，的最大值为，综上，的最大值为．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质平移，根据分段函数最值的讨论以及性质的运用，属于难题．三．解答题（共4小题）7．已知函数为常数，且的图象过点和点．（1）求函数的解析式；（2）是奇函数，求常数的值；（3）对任意的，且，试比较与的大小．【分析】（1）将、的坐标代入，求出，的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数奇偶性的定义求出的值即可；（3）分别求出与的表达式，根据基本不等式的性质判断其大小即可．【解答】解：（1）将和点代入得：，解得：，故；（2）由（1），若是奇函数，则，解得：；（3）的图象是凹函数，，证明如下：，，故．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数值的大小比较，考查不等式的性质，是一道中档题．8．设函数且是奇函数．（1）求常数的值；（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数的值；（2）当时，在上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据（1），求出，然后利用函数的最小值建立方程求解．【解答】解：（1）且是奇函数．，即，解得．（2）且，当时，在上递增．理由如下：设，则，由于，则，即，，即，则当时，在上递增．（3）（1），，即，解得或（舍去）．，令，，（1），，当时，，解得，不成立舍去．当时，，解得，满足条件，．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．9．已知定义域为的函数是奇函数．（1）求值；（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围．【分析】（1）根据奇函数当时的函数值为0，列出方程求出的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值作差变形判断符号下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出的范围．【解答】解：（1）由题设，需，，，经验证， 为奇函数，．（2）减函数证明：任取，，，△，，；，该函数在定义域 上是减函数．（3）由 得， 是奇函数，，由（2）知， 是减函数原问题转化为，即 对任意 恒成立，△，得 即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程由（3）知，，即方程有解，当， 时函数存在零点．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值作差变形判断符号下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．10．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．（1）求，的值．（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．（3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于1的自然数都成立，则称函数为“，上的函数”（其中，．试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值；若不是，则请说明理由．（注．【分析】（1）把点、的坐标代入函数的解析式中，求得、和的解析式；（2）由题意构造函数，根据题意结合函数的单调性求出函数最值以及的取值范围；（3）根据的单调性，结合题意求得的值，从而求得的最小值．【解答】解：（1）点，代入函数的解析式中，得，两式相比得，，，，；（2）函数的图象恒在函数图象的上方，代入，得函数的图象恒在函数图象的上方，设，在，上单调递减，在，上单调递减，在，上为单调递减函数，，要使在轴上方恒成立，即恒成立，即；（3）在，上单调递增，（3），的最小值为．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是难题