江苏省常州市第二十四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年江苏省常州二十四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.若方程是关于的一元二次方程，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

3.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.如图，在中，，，若，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定∽的是
(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了件小礼物，如果参加这次聚会的人数为，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.若，是方程的两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，在中，，，垂足为点，、分别是、边上的点，且，下列说法中∽；；当时，；，正确的个数有(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.关于的方程是一元二次方程，则______．

10.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是          ．

11.如图，点把线段的黄金分割点，且如果，那么        结果保留小数．

12.如图，点、分别在与上，，且：：，，则 ______ ．

13.如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为______．

14.请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了______人
 

15.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为______ ．

16.在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换如图，为▱的对角线，、分别在、上，且，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：
．
配方法．

18.本小题分
计算：
，
．

19.本小题分
如图，已知，求证：∽．
 

20.本小题分

如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为，．
以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的倍，即新图与原图的相似比为，画出对应的；
直接写出四边形的面积：______ ．

21.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程总有两个不相等的实数根；
如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根．

22.本小题分

某超市以每千克元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到实惠现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求与之间的函数关系式．
当每千克菠萝蜜降价元时，超市获利多少元？
若超市要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒．
求时，的面积；
直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
当为何值时，与相似．

24.本小题分
【基础巩固】
如图，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：；
【尝试应用】
如图，在的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值；
【拓展延伸】
如图，在等边中，，连结，点在上，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、由已知方程变形，得，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次的整式方程，叫一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
且，
解得．
故选：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用定理、找准对应关系是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法．
【解答】解：，
，
A.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
B.添加，可用两角法判定∽，故本选项错误；
C.添加，可用两边及其夹角法判定∽，故本选项错误；
D.添加，不能判定∽，故本选项正确；
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物，
由题意得，．
故选：．
设有人参加聚会，则每人送出件礼物，根据共送礼物件，列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

7.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
原式
．
故选：．
由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
由余角的性质可得，可证∽，故正确；通过证明∽，可得，即，故正确；由余角的性质可证，故正确；由三角形中位线定理可得，当时，，故错误．
【解答】
解：，
，
，
，，
，
∽，故正确；
，
，
，
，
又，
∽，
，，
，故正确；
，
，故正确；
当时，则，
，，
点是的中点，点是的中点，
，
当时，，
，故错误
综上所述，正确的说法有共个．
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．

10.【答案】 

【解析】解：一元二次方程没有实数根，
，
的取值范围是；
故答案为：．
根据关于的一元二次方程没有实数根，得出，再进行计算即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

11.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
由黄金分割的定义得，即可得出答案．
本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．

12.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
∽，，
，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可得到结论．

13.【答案】 

【解析】解：∽，
，
又，
．
故答案是：．
根据相似三角形的对应角相等即可得出．
本题考查的是相似三角形的性质，两三角形相似，对应的角相等．

14.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中，平均一个人传染了人，
依题意得：，
即，
解得：，不符合题意，舍去，
每轮传染中，平均一个人传染了人．
故答案为：．
设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
即图中的值为，
故答案为：．
由题意：剩余绿地的面积为，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于，交的延长线于．

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
如图，连接，过点作交的延长线于，交的延长线于首先证明，推出，推出，推出，由，推出∽，可得，求出的面积，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质解决问题．

17.【答案】解：原方程整理得：，
直接开平方得：，
解得：，；
原方程移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：，． 

【解析】利用直接开平方法解方程即可；
利用配方法配方后直接开平方即可．
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．

18.【答案】解：由方程可得，，，
则，
那么，
即；
原方程变形得：，
因式分解得：，
则或，
解得：，． 

【解析】利用公式法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．

19.【答案】证明：，
，
．
，
，
∽． 

【解析】根据相似三角形的判定定理即可证明∽．
本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．

20.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；
四边形的面积．
故答案为：．

利用位似变换的性质，画出三角形即可；
利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．

21.【答案】证明：由于是一元二次方程，
，
无论取何实数，总有，，
所以方程总有两个不相等的实数根．
解：把代入方程，
有，
整理，得 ．
解得 ，
此时方程可化为 ．
解此方程，得 ，．
所以方程的另一根为． 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
根据进行判断；
把代入方程即可求得，然后解这个方程即可．

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
故答案为：．


元．
答：当每千克干果降价元时，超市获利元．
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价元． 

【解析】观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可求出结论；
利用总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据图中点的坐标，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23.【答案】解：，
又，
∽，
，
当时，，，，，
，
；
不存在．
理由：∽，
，
，
整理，得，
，
方程没有实数根．
不存在使得的面积等于的值；
当时，∽，
，即，
解得；
当时，∽，
，即，
解得．
当或时，与相似． 

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
由于轴，则时，，关键是求易证∽，则，从而求出的长度，得出的面积；
假设存在这样的，使得的面积等于，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
如果与相似，由于，则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：点与点对应；点与点对应．即可得解．

24.【答案】证明：，
∽，
，
同理，
，
；
解：，
，，
、恰好将三等分，
，
，
，
，
在中，，
，
根据得，；
解：过作的平行线，分别交、于、．

是等边三角形，
，，
，
，
也是等边三角形，
，
，
，
又，
，
，
∽．
，即，
，
由和，得，
设，则．
，，
，
．
，
，
，
∽，
，
即，
，
． 

【解析】根据，可得∽，从而得到，同理，进而得到，即可；
根据，可得，，再由、恰好将三等分，可得到，再由直角三角形的性质可得，从而得到，即可；
过作的平行线，分别交、于、可得也是等边三角形，从再而得到，再证得∽，可得，由和，得，设，则可得，，然后根据∽，可得，即可．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．