2022-2023学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷（无答案）

这是一份2022-2023学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷（无答案），共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题5分，共40分）
1．（5分）若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}
2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），2x0＜x02”的否定为（　　）
A．∀x∈（0，+∞），2x＜x2 B．∀x∈（0，+∞），2x＞x2
C．∀x∈（0，+∞），2x≥x2 D．∃x∈（0，+∞），2x≥x2
3．（5分）下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则
4．（5分）设x∈R，则“”是“|x﹣1|＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
﹣7.82
11.45
﹣53.76
﹣128.88
则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（5分）下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x2 C．y＝x3 D．y＝﹣
7．（5分）设函数，若f（a）＝a，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2
8．（5分）已知函数f（x）＝，关于f（x）的性质，有以下四个推断：
①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在区间（0，1）上单调递增；
④f（x）的值域是[﹣，]．
其中推断正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）函数的定义域为 　 　．
10．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝　 　．
11．（5分）欲用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，则这个菜园的最大面积为 　 　平方米．
12．（5分）已知关于x的方程x2+2（a+2）x+a2﹣1＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为 　 　．
13．（5分）已知偶函数f（x）＝x2+（b+1）x+c，写出一组使得f（x）≥2恒成立的实数b，c的取值：b＝　 　，c＝　 　．
14．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1），其图象如图所示．函数g（x）是定义域为R的偶函数，满足g（x+2）＝g（x），且当x∈[﹣1，0]时，g（x）＝f（x）．给出下列三个结论：
①；
②不等式g（x）＞0的解集为R；
③函数g（x）的单调递增区间为[2k，2k+1]，k∈Z．
其中所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）
15．（10分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣5≥x﹣3}．
（1）求∁RB和A∩B；
（2）若C＝{x|2x+a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
16．（10分）设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象与直线y＝2x交点的坐标；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）用单调性定义证明：函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
17．（10分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝f（3）＝﹣3．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）＝f（x），
（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：　 　；
（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．
四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
18．（5分）若f（x）是偶函数，且在（0，+∞）单调递减，比较f（﹣3），f（1），f（2）的大小关系 　 　．（用“＞”或“＜”连接）
19．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为　 　．（写出符合条件的一个函数即可）
20．（5分）某购物网站在2022年10月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为200元，衣服的价格为200元，鞋的价格为150元，用户应支付200+200+150＝550元，减免价格最低商品价格150元，实际支付400元，实际折扣400÷550＝约7.3折，立省150元．
（1）如果在此网站上购买的三件商品价格分别为500元、700元、400元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为 　 　折；
（2）在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为 　 　折（保留一位小数）．
21．（5分）已知当x∈（0，1）时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与y＝x+m的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是　 　．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
22．（10分）已知a＞0，b＞0且ab＝1．
（1）求a+2b的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围．
23．（10分）设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间[﹣4，6]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．
24．（10分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯，xn），xi∈{k，1}，i＝1，2，⋯，n}（n≥2）．对A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn）∈Sn，定义：A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．
（Ⅰ）当k＝2，n＝5时，设A＝（1，2，1，1，2），B＝（2，1，1，2，1），求A﹣B，d（A，B）；
（Ⅱ）若对于任意的A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，求k的值并证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）．

2022-2023学年北京师大附属实验中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。每小题5分，共40分）
1．（5分）若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}
【分析】求出集合B中不等式的解集，找出A与B的公共部分即可确定出交集．
【解答】解：∵x2＞1
解得：x＞1或x＜﹣1，
∴B＝{x|x＞1或x＜﹣1}，
∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
故选：C．
2．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），2x0＜x02”的否定为（　　）
A．∀x∈（0，+∞），2x＜x2 B．∀x∈（0，+∞），2x＞x2
C．∀x∈（0，+∞），2x≥x2 D．∃x∈（0，+∞），2x≥x2
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x0∈（0，+∞），2x0＜x02”的否定是：∀x∈R，2x≥x2．
故选：C．
3．（5分）下列命题是真命题的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则
【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．
【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；
对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；
对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；
对于D，若a＜b＜0，则，成立；
故选：D．
4．（5分）设x∈R，则“”是“|x﹣1|＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答】解：，即﹣1＜x＜5，|x﹣1|＜1，即0＜x＜2，
﹣1＜x＜5不能推出0＜x＜2，充分性不成立，
0＜x＜2能推出﹣1＜x＜5，必要性成立，
故“”是“|x﹣1|＜1”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（5分）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
﹣7.82
11.45
﹣53.76
﹣128.88
则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】可判断f（2）•f（3）＜0，f（3）•f（4）＜0，f（4）•f（5）＜0，从而判断零点的个数即可．
【解答】解：由表可知，
f（2）•f（3）＜0，
f（3）•f（4）＜0，
f（4）•f（5）＜0，
故函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个，
故选：B．
6．（5分）下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．y＝x+1 B．y＝﹣x2 C．y＝x3 D．y＝﹣
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【解答】解：A．y＝x+1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B，y＝﹣x2是偶函数；∴该选项错误；
C，y＝x3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；
D，y＝﹣为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；
故选：C．
7．（5分）设函数，若f（a）＝a，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2
【分析】由分段函数的解析式知，当x≥0时，f（X）＝；当x＜0时，f（x）＝；分别令f（a）＝a，即得实数a的取值．
【解答】解：由题意知，f（a）＝a；
当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）；
当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．
所以实数a 的值是：a＝﹣1．
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）＝，关于f（x）的性质，有以下四个推断：
①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在区间（0，1）上单调递增；
④f（x）的值域是[﹣，]．
其中推断正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①求出的函数的定义域即可；②利用函数的奇偶性判断；③利用函数单调性的定义判断；④分类讨论，结合基本不等式求最值即可．
【解答】解：①因为x2+1≥1≠0，所以函数的定义域为R，即①正确；
②，所以f（x）是奇函数，即②正确；
③任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则＝＝，
因为x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，所以x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＞0，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以③正确；
④当x＞0时，f（x）＝＝，
由②知，函数f（x）为奇函数，所以当x＜0时，f（x）≥，而当x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）的值域是[﹣，]，即④正确．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）函数的定义域为 　{x|x≤2且x≠1}　．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意得，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：{x|x≤2且x≠1}．
10．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝　﹣2　．
【分析】当x＞0时，f（x）＝x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得出．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝x2+，
∴f（1）＝1+1＝2．
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
11．（5分）欲用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，则这个菜园的最大面积为 　50　平方米．
【分析】设矩形的宽为x米，则矩形的长为（20﹣2x）米，根据题意可知1≤x＜10，矩形的面积S＝x（20﹣2x）＝2x（20﹣2x），再利用基本不等式即可求出结果．
【解答】解：设矩形的宽为x米，则矩形的长为（20﹣2x）米，
∵0＜20﹣2x≤18，∴1≤x＜10，
矩形的面积S＝x（20﹣2x）＝2x（20﹣2x）＝50，当且仅当2x＝20﹣2x，即x＝5时，等号成立，
故这个菜园的最大面积为50平方米．
故答案为：50．
12．（5分）已知关于x的方程x2+2（a+2）x+a2﹣1＝0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为 　（﹣1，1）　．
【分析】根据题意建立关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：依题意，，即，
解得﹣1＜a＜1，
故答案为：（﹣1，1）．
13．（5分）已知偶函数f（x）＝x2+（b+1）x+c，写出一组使得f（x）≥2恒成立的实数b，c的取值：b＝　﹣1　，c＝　3（不唯一）　．
【分析】由函数为偶函数得b＝﹣1，进而得f（x）＝x2+c≥c，又因为f（x）≥2恒成立，所以有c≥2，即可得答案．
【解答】解：因为f（x）＝x2+（b+1）x+c为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以b＝﹣1，
所以f（x）＝x2+c，
所以f（x）≥c，
又因为f（x）≥2恒成立，
所以c≥2．
故答案为：﹣1，3（不唯一）．
14．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1），其图象如图所示．函数g（x）是定义域为R的偶函数，满足g（x+2）＝g（x），且当x∈[﹣1，0]时，g（x）＝f（x）．给出下列三个结论：
①；
②不等式g（x）＞0的解集为R；
③函数g（x）的单调递增区间为[2k，2k+1]，k∈Z．
其中所有正确结论的序号是 　①③　．

【分析】先求出g（﹣1）＝f（﹣1），再利用g（x）为偶函数即可判断选项①，利用当x∈[﹣1，0]时，g（x）＝f（x），以及f（x）的图象即可判断选项②，利用g（x）的单调性以及周期性的关系即可判断选项③．
【解答】解：因为x∈[﹣1，0]时，g（x）＝f（x），
所以g（﹣1）＝f（﹣1）＝，
因为g（x）是定义域为R的偶函数，
所以g（1）＝g（﹣1）＝，故选项①正确；
由题意可知，g（0）＝0，故选项②不正确；
因为g（x）在[﹣1，0]单调递减，
所以g（x）在[0，1]单调递增，
因为g（x+2）＝g（x），
所以g（x）是以T＝2为周期的周期函数，
所以[2k，2k+1]上g（x）单调递增，
故选项③正确．
故答案为：①③．
三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）
15．（10分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣5≥x﹣3}．
（1）求∁RB和A∩B；
（2）若C＝{x|2x+a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由已知结合集合的补集运算及集合交集运算可求；
（2）由B∪C＝C可得B⊆C，然后结合集合的包含关系可求．
【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），B＝{x|2x﹣5≥x﹣3}＝{x|x≥2}，
所以∁RB＝{x|x＜2}，A∩B＝[2，3）；
（2）C＝{x|2x+a＞0}＝{x|x＞﹣}，
因为B∪C＝C，所以B⊆C，
所以﹣，
故a＞﹣4，
故a的取值范围为{a|a＞﹣4}．
16．（10分）设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象与直线y＝2x交点的坐标；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）用单调性定义证明：函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；
（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）根据函数的单调性的定义证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：令y＝f（x），则由题意得：，
解得：或，
故函数f（x）的图象与直线y＝2x交点的坐标是（﹣1，﹣2），（4，8）；
（Ⅱ）解：f（x）＝x++3≥2+3＝2+3＝7，当且仅当x＝即x＝2时“＝”成立，
故f（x）在（0，+∞）上的最小值是7；
（Ⅲ）证明：不妨设x2＞x1＞2，
则f（x2）﹣f（x1）＝x2++3﹣x1﹣﹣3＝（x2﹣x1）+＝（x2﹣x1）•，
∵x2＞x1＞2，∴x2﹣x1＞0，＞0，
故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．
17．（10分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝f（3）＝﹣3．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）＝f（x），
（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：　[﹣2，2]　；
（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）代值计算即可，
（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，
（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可
【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）＝x2+bx+c满足f（1）＝f（3）＝﹣3，
∴
解的b＝﹣4；c＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝x2﹣4x，
∵函数g（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝﹣g（x），
假设x＜0，则﹣x＞0，
则g（﹣x）＝f（﹣x）＝x2+4x，
∴g（x）＝﹣x2﹣4x，
∴g（x）＝，
（i）g（x）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．
（ⅱ）若g（a）＞a，则或
解得a＞5或﹣5＜a＜0．
综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．
四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
18．（5分）若f（x）是偶函数，且在（0，+∞）单调递减，比较f（﹣3），f（1），f（2）的大小关系 　f（1）＞f（2）＞f（﹣3）　．（用“＞”或“＜”连接）
【分析】由偶函数的性质可得f（﹣3）＝f（3），再由函数的单调性即可比较大小．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣3）＝f（3），
又因为f（x）在（0，+∞）单调递减，
所以f（1）＞f（2）＞f（3），
即f（1）＞f（2）＞f（﹣3）．
故答案为：f（1）＞f（2）＞f（﹣3）．
19．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f（x）可以为　f（x）＝　．（写出符合条件的一个函数即可）
【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．
【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，
∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，
故答案为：f（x）＝（）x．
20．（5分）某购物网站在2022年10月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为200元，衣服的价格为200元，鞋的价格为150元，用户应支付200+200+150＝550元，减免价格最低商品价格150元，实际支付400元，实际折扣400÷550＝约7.3折，立省150元．
（1）如果在此网站上购买的三件商品价格分别为500元、700元、400元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为 　7.5　折；
（2）在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为 　6.7　折（保留一位小数）．
【分析】（1）根据“买三免一”的活动规则，可得商品总费用为1600元，实际支付1200元，列出算式，求解即可得出答案；
（2）由题意可设购买3件商品的价格分别为x，y，z，且x≥y≥z＞0，根据题意可得实际折扣为，利用放缩法，即可得出答案．
【解答】解：（1）三件商品价格分别为500元、700元、400元，
∴商品总费用为1600元，实际支付1200元，
∴实际折扣为1200÷1600＝0.75，
故按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为7.5折，
（2）设购买3件商品的价格分别为x，y，z，且x≥y≥z＞0，
∴商品总费用为（x+y+z）元，实际支付（x+y）元，
∴实际折扣为≥＝≈6.7，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，
故这3件商品实际折扣力度最大约为6.7折，
故答案为：7.5；6.7．
21．（5分）已知当x∈（0，1）时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与y＝x+m的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是　（0，1）∪（3，+∞）　．
【分析】根据题意，当m＝0时，和当m＜0时不满足题意，当m＞0时，由二次函数的性质分析可得：y＝（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：当m＝0时，函数y＝1与y＝x在区间（0，1）上图象没有交点，不满足题意；
当m＜0时，函数y＝（mx﹣1）2在（0，1）上单调递增，且y＞1，
函数y＝x+m在（0，1）上单调递增，且y＜1+m＜1，
故当x∈（0，1）时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与y＝x+m的图象没有交点，不符合题意；
当m＞0时，y＝（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，
函数y＝x+m为增函数，
分2种情况讨论：
①、当0＜m≤1时，有＞1，
在区间（0，1）上，y＝（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为（（m﹣1）2，1），
函数y＝x+m为增函数，其值域为（m，1+m），
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；
②、当m＞1时，有＜1，
y＝（mx﹣1）2 在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，
函数y＝x+m为增函数，其值域为（m，1+m），
若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2＞1+m，
解可得m＜0或m＞3，
又由m为正数，则m＞3；
综合可得：m的取值范围是（0，1）∪（3，+∞）；
故答案为：（0，1）∪（3，+∞）．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
22．（10分）已知a＞0，b＞0且ab＝1．
（1）求a+2b的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围．
【分析】（1）直接运用基本不等式，可得所求最小值，注意等号成立的条件；
（2）由题意可得x2﹣2x＜（+）min，由基本不等式可得其最小值，再由二次不等式的解法，可得所求范围．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0且ab＝1，∴，
当且仅当时，取等号，
故a+2b的最小值为；
（2）∵a＞0，b＞0且ab＝1，
∴，当且仅当，且ab＝1，即，b＝6时，取等号，
即的最小值为3，
∴x2﹣2x＜3，即x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，
即实数x的取值范围是（﹣1，3）．
23．（10分）设函数．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间[﹣4，6]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．
【分析】（Ⅰ）利用二次函数的基本性质可求得函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）对实数a的取值进行分类讨论，分析函数f（x）的单调性，可求得g（a）的表达式．
【解答】解：（Ⅰ）解：当﹣2≤x≤2时，f（x）＝（2﹣x）（x+4）＝﹣x2﹣2x+8＝﹣（x+1）2+9，
所以，函数f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，2]上单调递减，
所以，f（x）max＝f（﹣1）＝9，
又因为f（﹣2）＝8，f（2）＝0，
则f（x）min＝f（2）＝0，
因此，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为9，最小值为0；
（Ⅱ）当x＞2时，f（x）＝（2﹣x）（x﹣a）＝﹣x2+（a+2）x﹣2a，且函数f（x）在[﹣4，6上连续．
①当≤2时，即当a≤2时，f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递增，在[﹣1，6]上单调递减，
所以，g（a）＝f（﹣1）＝9；
②当2＜＜6时，即当2＜a＜10时，
函数f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递增，在[﹣1，2]上单调递减，在[2，]上单调递增，在[，6]上单调递减，
因为f（﹣1）＝9，f（）＝﹣（）2+（a+2）×﹣2a＝﹣2a＝，
且f（）﹣f（﹣1）＝﹣9＝，
此时，g（a）＝；
③当≥6时，即当a≥10时，函数f（x）在[﹣4，﹣1]上单调递增，在[﹣1，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
因为f（﹣1）＝9，f（6）＝4（a﹣6）＞9＝f（﹣1），此时，g（a）＝4（a﹣6）．
综上所述，g（a）＝．
24．（10分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯，xn），xi∈{k，1}，i＝1，2，⋯，n}（n≥2）．对A＝（a1，a2，⋯，an），B＝（b1，b2，⋯，bn）∈Sn，定义：A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）；A与B之间的距离为d（A，B）＝＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|．
（Ⅰ）当k＝2，n＝5时，设A＝（1，2，1，1，2），B＝（2，1，1，2，1），求A﹣B，d（A，B）；
（Ⅱ）若对于任意的A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，求k的值并证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）．
【分析】（Ⅰ）直接代入计算A﹣B和d（A，B）；
（Ⅱ）根据对ai，bi∈{k，1}（i＝1，2，…，n），都有|ai﹣bi|＝k或1，可得k＝0，然后表示出d（A﹣C，B﹣C）＝，分别讨论ci＝0或ci＝1两种情况即可证得d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）．
【解答】解：（Ⅰ）∵A＝（1，2，1，1，2），B＝（2，1，1，2，1），
∴A﹣B＝（|1﹣2|，|2﹣1|，|1﹣1|，|1﹣2|，|2﹣1|）＝（1，1，0，1，1），
∴d（A，B）＝1+1+0+1+1＝4．
证明：（Ⅱ）∵Sn＝{X|X＝（x1，x2，⋯，xn），xi∈{k，1}，i＝1，2，⋯，n}（n≥2），A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，⋯，|an﹣bn|）∈Sn，
即对ai，bi∈{k，1}（i＝1，2，…，n），都有|ai﹣bi|＝k或1，
∴k＝0，
设C＝（c1，c2，…，cn）∈Sn，
则d（A﹣C，B﹣C）＝，
当ci＝0时，|（ai﹣ci）﹣（bi﹣ci）|＝|ai﹣bi|；当ci＝1时，|（ai﹣ci）﹣（bi﹣ci）|＝|（1﹣ai）﹣（1﹣bi）|＝|ai﹣bi|，
所以d（A﹣C，B﹣C）＝＝＝d（A﹣B）
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