备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题2-函数的综合运用

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2024高考数学二轮复习 重难点专题02函数的综合应用【考点预测】高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.  【题型归纳目录】题型一：函数与数列的综合题型二：函数与不等式的综合题型三：函数中的创新题 题型一：函数与数列的综合例1．已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用不等式可得，即，由累加法可得，利用不等式可得，即，同理用累加法可得，则，即可求解.【详解】∵（当时等号成立），∴，当时，，即，则，，整理得，即，即，，，，将个不等式相加得，即，，令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，即在出取得最大值，，所以（当时等号成立），当时，（当时等号成立），即当时， ，，，，，即，同理利用累加法可得，即，所以，则，故选： .例2．已知等差数列的前n项和为，满足，则下列结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形为，构造函数，可知和是函数的零点，故利用导数研究其单调性并研究其零点，结合函数零点存在性定理求得的关系，再利用等差数列的性质与求和公式即可求解.【详解】令，即和是函数的零点∵，故f(x)最多有一个零点，∴又∵，，∴1＜＜2，∴，，∴.故选：B   【方法技巧与总结】利用函数与数列知识的相互联系、相似性质：（1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似.(2)函数单调性与数列单调性的相似性.（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.题型二：函数与不等式的综合例3．已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.【详解】由，得且函数关于点对称．由对任意，，均有，可知函数在上单调递增．又因为函数的定义域为R，所以函数在R上单调递增．因为a，b为关于x的方程的两个解，所以，解得，且，即．又，令，则，则由，得，所以．综上，t 的取值范围是.故选：D．例4．已知函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】令，讨论的单调性，分析画出函数的图象，由可知.【详解】关于的不等式有且仅有两个整数解，转化为有且仅有两个整数解，令，当 ，，，所以在上单调递减，同理已知在，上单调递减，在上单调递增，且，的图象如下图，而的距离为1，即在之间有且仅有两个整数解，所以，则的取值范围是：.故答案为：. 例5．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意先求，然后利用倒序相加法求，则由可得，求出的最小值即可求得的取值范围【详解】因为，所以，由，，所以，所以，所以由，得，，，所以，令，（）则当，递减，当时，递增，因为，所以，所以，即的取值范围是，故答案为：  【方法技巧与总结】不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答.        题型三：函数中的创新题例6.（多选）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（        ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】由 “和谐区间”定义，结合每个函数进行判断，逐一证明函数存在或不存在“和谐区间”即可【详解】对A，可知函数单调递增，则若定义域为时，值域为，故不存在“和谐区间”；对B，，可假设在存在“和谐区间”，函数为增函数，若定义域为时，值域为，则，解得（符合），（舍去），故函数存在“和谐区间”；对C，，对称轴为，先讨论区间，函数为减函数，若定义域为时，值域为，则满足，解得，故与题设矛盾；同理当时，应满足，解得，故无解，所以不存在“和谐区间”； 对D，为单增函数，则应满足，可将解析式看作，，由图可知，两函数图像有两个交点，则存在“和谐区间”故选BD【点睛】本题考查函数新定义，函数基本性质，方程与函数的转化思想，属于难题例7.（多选）设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，.若函数（，且），则下列说法正确的是（       ）A．在区间上为单调函数B．在区间上不存在最大值C．在区间上有5个零点D．若的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则.【答案】BD【解析】由题意，画出的图象，观察在区间的图像即可判断选项AB；观察在区间上的零点即可判断选项C；通过条件分析出函数与的图象至少有4个交点，观察图像得到，即可判断选项D.【详解】由题意，画出的图象如图所示：由在区间上的图象可知，在区间上为非单调函数，A项错误；在区间上，，没有最大值，B项正确；无论还是，在区间内恒有1个零点，由图象可知，在区间上有5个零点，所以在区间上有6个零点，C项错误；要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点，则函数与的图象至少有4个交点，由图象得，解得，D项正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题是函数的综合问题，主要考查函数的图像，函数的单调性以及考生对新定义的理解.数形结合是解决本题的关键.例8.已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为________．【答案】【解析】画出函数及其关于对称的曲线的简图，根据图像，分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小，利用相切求得切点坐标，即得解．【详解】,函数在单调递增，单调递减.它的图像及关于直线对称的图像如图所示：分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小.令，又P在y轴右侧，；根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得因此PQ中点坐标为：故答案为：【点睛】本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题．