备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题5-极值点与拐点偏移

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2024高考数学二轮复习重难点专题05极值点偏移问题与拐点偏移问题1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。             图1 极值点不偏移                  图2  极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。【方法技巧与总结】1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2.应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.3. 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.【题型归纳目录】题型一：极值点偏移:加法型题型二：极值点偏移:减法型题型三：极值点偏移:乘积型题型四：极值点偏移:商型题型五：极值点偏移:平方型题型六：拐点偏移问题  【典例例题】题型一：极值点偏移:加法型例1．已知函数有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解答】解：（1）函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，故当时，函数取最小值，若函数有两个不同的零点，．则，即；证明：（2）若函数有两个不同的零点，．不妨设，则，且，若证．即证，构造函数，，所以，所以，，令，则，所以单调递增，所以（1），所以，所以（1），即，，又，所以因为在区间上单调递增，所以，故原不等式得证．例2．已知函数有两个相异零点，．（1）求的取值范围；（2）求证：．【解答】解：（1），当时，，单调递减，当时，，单调递增；要使函数有两个相异零点，必有（1），，当时，，且，函数在有一个零点，，函数在有一个零点，的取值范围为．（2）由（1）知，，，，要证，，故构造函数，，则，所以在单调递减，（1）．，，构造函数，，下面证明，即证明，构造函数，．在上恒成立，因此在递增，从而（1），，在递增，（1），，时，，单调递增，，即．题型二：极值点偏移:减法型例3．设函数，，其中．（1）若，证明：当时，；（2）设，且，其中是自然对数的底数．①证明恰有两个零点；②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．【解答】（1）解：令，当时，，所以在上递减，又在，上连续，所以当时，（1），即当时，；（2）证明：①，得，令，由，可知在内单调递减，又（1），且．故在有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，，所以在内单调递增；当，时，，所以在，内单调递减，因此是的唯一极值点．由（1）知．从而，又因为（1），所以在，内有唯一零点．又在内有唯一零点1，从而在内恰有两个零点．②由题意，，即，从而，即．因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得．例4．已知函数，的导数为．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．【解答】（1）解：，．若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减．若，则当时，，单调递增．故当时，在上在上单调递增；在上单调递减．当时，在上单调递增．（2）证明：令，则．由（1）知，在上，单调递增．又（1）（1），所以在上，，单调递减；在上，，单调递增．又，，，所以，，故． 题型三：极值点偏移:乘积型例5．已知，函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围；设的两个零点分别为，，证明：．【解答】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，在单调递增；②当时，由得，则当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．（2）法1：函数有两个零点即方程在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图：可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，设切点，，所以，又，所以，解得，于是，所以，法2：由（1）当时，在单调递增，不可能有两个零点，，此时，需解得，从而，又故在有一个零点；，设，，则故在单调递减在有一个零点故的取值范围为．原不等式，不妨设，，，，，，，，令，则，于是，设函数，求导得：，故函数是上的增函数，（1），即不等式成立，故所证不等式成立． 例6．已知函数是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，，证明：．【解答】解：（1）由题意可得，有2个零点，令，则在时恒成立，故在上单调递增，所以有2个零点可转化为有2个零点，因为，时，，单调递增，不可能有2个零点，当时，由可得，单调递增；可得，单调递减，（a），若，则（a），此时恒成立，没有零点，若，则（a），有一个零点，若，则（a），因为（1），，所以在，上各有1个零点，符合题意，综上，的范围；（2）证明：要证，只要证，即证，由（1）可知，，，所以，，所以，只要证，设，令，，所以只要证即证，令，，则，（1），即当时，，所以即，故．例7．已知函数．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．【解答】（1）解：，函数在处的切线与轴平行，（1），解得．（2）解：，，不等式化为：，存在，，使不等式对于，恒成立，，化为：．，令，，函数在，上单调递增，（1）．，因此函数在，上单调递增．（e）．的取值范围是．（3）证明：方程，即，．令，．可得：函数在时单调递增，在时单调递减．时，函数取得极大值即最大值．．方程有两个不等的实数根、．，要证明：．只要证明：即可．不妨设，则，由于函数在时单调递增，因此只要证明：即可得出，设函数，．可得在上，且．，，即，即．，． 题型四：极值点偏移:商型例8．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．【解答】证明：，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且为最大值等于．由函数有两个相异零点、，可得，即．（a），，，即，则，，，．  题型五：极值点偏移:平方型例9．已知函数．（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：．【解答】证明：（1），（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，，故直线过定点，；（2），是的两个零点，且，，可得，，令，，构造函数，，令，则，则在上单调递增，而（2），，则在上单调递增，（2），可得，则，即，则．例10．已知，（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．【解答】解：，，时，，，时，增区间为：，减区间为：；时，，时，增区间为：；时，，，时，增区间为：，减区间为：；综上：时，增区间为：，减区间为：；时，增区间为：；时，增区间为：，减区间为：；（Ⅱ）证法一：由（1）知，时，增区间为：，减区间为：；且时，，，函数的大致图像如下图所示：因为时，函数有两个零点，，所以，即，不妨设，则，先证：，即证：，因为，所以，又在单调递增，所以即证：又，所以即证：，，令函数，，则，因为，所以，，故，函数在单调递增，所以，因为，所以，，即，所以．（Ⅱ）证法二：因为时，函数有两个零点，，则两个零点必为正实数，，问题等价于有两个正实数解；令则，在单调递增，在单调递减，且，令，，则，所以在单调递增，，又，故，，又，所以，又，所以，，又在单调递增，所以，所以． 例11．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，对于任意，证明：．【解答】解：（1）的定义域为，，当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，，此时在上单调递减；综上可知：当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是．（2）证明：由，，，由于，所以．设，故：，令，则，由于，故，则在上单调递增，故（1），即：所证不等式成立． 题型六：拐点偏移问题 例12．已知函数，．（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，若存在正实数，满足，求证：．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，因为在处取得极值，所以（1），解得：．验证：当时，，易得在处取得极大值．（Ⅱ）因为，所以，①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当，时，，函数在，上单调递减．②若，，当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和，上单调递增，在，上单调递减．（Ⅲ）证明：当时，，因为，所以，即，所以，令，，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为1． 所以，即，所以或，因为，为正实数，所以当时，，此时不存在，满足条件，所以．