备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题9-函数零点问题的综合运用

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2024高考数学二轮复习重难点专题9函数零点问题的综合应用【方法技巧与总结】1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.  【题型归纳目录】题型一：零点问题之一个零点题型二：零点问题之二个零点题型三：零点问题之三个零点题型四：零点问题之max，min问题题型五：零点问题之同构法题型六：零点问题之零点差问题题型七：零点问题之三角函数题型八：零点问题之取点技巧    【典例例题】题型一：零点问题之一个零点例1．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围．【解答】解：（1），是函数的一个极值点，则．，．，当时，恒成立，在上单调递减．当时，．在，上单调递减，在递增．综上，当时，在上单调递减．当时，在，上单调递减，在递增．（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，令，，令，可得或．时，，时，，时，在递增，在，递减，且时，，时，或．，或所以，的取值范围，．题型二：零点问题之二个零点例2．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解答】解：（1）的定义域为，且，当时，，此时在上单调递增；当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，当时，，函数至多有一个零点，不合题意；当时，，由于，且，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，由于，且（由于，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为．题型三：零点问题之三个零点例3．已知函数，．（1）求的极值；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围．【解答】解：（1）的定义域为，，当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，当时，，所以无极值，当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值．（2）设，即，．①若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，至多有两个零点．②若，则，（仅（1），单调递增，至多有一个零点．③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立．由（1），得，这与矛盾，所以不可能有三个零点．④若，则．当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，由（1），得，由及，得，．并且，当时，，，，．综上，使有三个零点的的取值范围为．题型四：零点问题之max，min问题例4．已知函数，．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解答】解：（1）若函数的定义域为，则任意，使得，所以△，解得，所以实数的取值范围为．（2）若函数在上单调递减，又因为在上为减函数，所以在上为增函数且任意，，所以，且（1），即，且，解得，所以的取值范围为，．（3）因为当时，，所以，，所以在上无零点，①当时，过点，且对称轴，作出的图象，可得只有一个零点，②当时，过点，且对称轴，当△，即时，只有一个零点，当△，即时，的零点为，由两个零点，，当△，即时，令，解得，，且，，若，即时，函数有3个零点，，，若，即时，函数有1个零点，若若，即时，函数有2个零点，，综上所述，当，，时，只有一个零点，当或时，有两个零点，当，时，有三个零点．题型五：零点问题之同构法例5．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．【解答】解析：（1）当时，，，，显然在单调递增，且，当时，，单调递减；当时，，单调递增．在处取得极小值，无极大值．（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，设，则，单调递增，有两个解，即有两个解．令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．，，当时，．题型六：零点问题之零点差问题例6．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．【解答】（1）解：当时，，，，令，可得，令，可得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：函数的定义域为，，令，因为函数有两个极值点，，所以，是函数的两个零点，，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，，由，可得，因为，所以，所以要证，即证，只需证（2），因为，所以（2），所以，得证．题型七：零点问题之三角函数例7．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．题型八：零点问题之取点技巧例8．已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设，若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断.【详解】解：（1）当时，，，，，∴切线方程为即；（2）∵，∴.①当时，在上单调递增，在上单调递减.∵，.∴在上有且只有一个零点.取，使，且，则.即有两个不同的零点.②当时，，此时只有一个零点.③当时，令，得或.当时，，恒成立，∴在上单调递增.当时，即.若或，则；若，则.∴在和上单调递增，在上单调递减.当时，即.若时，若，则.∴在和上单调递增，在上单调递减当时，∵，.∴无零点，不合题意.综上，有两个零点的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.