备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题12-导数中的距离问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题12

导数中的距离问题

【题型归纳目录】

题型一：曲线与直线的距离

题型二：曲线与点的距离

题型三：曲线与圆的距离

题型四：曲线与抛物线的距离

题型五：曲线与曲线的距离

题型六：横向距离

题型七：纵向距离

【典例例题】

题型一：曲线与直线的距离

例1．若实数，，，满足，则的最小值为　　．

【解答】解：实数，，，满足，

，．

分别设，．

设直线与曲线相切于点，．

则，，解得，．

．

点到直线的距离．

则的最小值为．

故答案为：．

例2．已知函数的最小值是，则的值是      

【解答】解：函数

，

可得表示两点，的距离的平方，

即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，

设直线与函数的图象相切，

设切点为，可得，解得，

即有切点为，

则，

解得，

则的值为0.3．

例3．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：，

，

又对任意的正实数，在上都是增函数，

在上恒成立，

即在上恒成立，

的几何意义为动点到直线，即上点的距离的平方，

其最小值为．

令，，

当时，，当时，，

（1），则的最小值为．

实数的取值范围是．

故选：．

题型二：曲线与点的距离

例4．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设点坐标为，，其中，

，过点的切线斜率为，

当直线与过点的切线垂直时，点与点间的距离最小，此时，，

点与点间的距离最小值，

即，解得：，又，，

，

故选：．

例5．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：的导数为，

设，可得过的切线的斜率为，

当垂直于切线时，取得最小值，

可得，

且，

可得，

解得舍去），

即有，解得，

，

故选：．

题型三：曲线与圆的距离

例6．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心，

到函数图象上一点的距离的最小值．

设图象上一点，

由的导数为，

即有切线的斜率为，

可得，

即有，

由，可得，

当时，，递增．

又（e），

可得处点到点的距离最小，且为，

则线段的长度的最小值为，即．

故选：．

例7．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心，到函数图象上一点的距离的最小值．

设图象上一点，

由的导数为，即有切线的斜率为，

可得，

即有，

由，可得，

当时，，递增．

又（e），

可得处点到点的距离最小，且为，

则线段的长度的最小值为．

故选：．

题型四：曲线与抛物线的距离

例8．设，，当，变化时的最小值为　　．

【解答】解：设，则表示函数上一点与函数上一点之间的距离，

又函数表示焦点为，准线为的抛物线，由抛物线的定义可得，

，的几何意义即为，

作出示意图如下，

由图观察可知，当点运动至点，且垂直于过点的函数的切线，点为线段与函数的交点时，最小，

设，，，则，解得，即，

的最小值为．

故答案为：．

例9．设．，则的最小值为　　

A． B．1 C． D．2

【解答】解：，其几何意义为：

两点．，的距离的平方，

由的导数为，

点在曲线上，

，，

令，，

则，

而是抛物线上的点到准线的距离，

即抛物线上的点到焦点的距离，

则可以看作抛物线上的点，到焦点距离和到上的点的距离的和，

即，

由两点之间线段最短，得的最小值是点到上的点的距离的最小值，

由点到直线上垂线段最短，这样就最小，

即取，，

则，垂直，

则，解得，

到的距离就是点到上的点的距离的最小值，

的最小值为．

故选：．

题型五：曲线与曲线的距离

例10．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为　　

A． 2 B．  C． 2 D．

【解答】解：，该函数的定义域为，值域为，，

函数与互为反函数，

其图象关于直线对称，

两曲线上点之间的最小距离就是与上点的最小距离的2倍．

设上点，处的切线与直线平行，

则，

，，

点，到的距离为，

则的最小值为．

故选：．

例11．设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线，，若在区间，内，曲线，有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为　　

A．4 B． C． D．

【解答】解：，

，，

依题意，曲线，曲线，

其中曲线可化为：，其图象如图，

要使在区间，内曲线，有两个交点，

则必有曲线在取时的值需小于或等于，

故要使得最大，只需，

解得：，

故选：．

题型六：横向距离

例12．已知直线与函数和的图象分别交于、两点，若的最小值为3，则　　．

【解答】解：设，，，，，

则，

则，

则，

设，，

则，

的最小值为3，

的根为，且函数在，上递增，则上递减，

则函数的最小值为

即即，则得，，

此时，则，

即，

故答案为：1

例13．设直线与函数，的图象分别交于，两点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：直线直线与函数，的图象分别交于，两点，

，，，其中，且，

，设函数（a），

（a），，

令（a），解得，

当（a），即时，函数在，单调递增，

当（a），即时，函数在单调递减，

故时，函数有最小值，最小值为，

故线段的长度的最小值为．

故选：．

题型七：纵向距离

例14．直线分别与曲线，交于、两点，则的最小值为　　

A．3 B．2 C． D．

【解答】解：令，

则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，即时，取得最小值（1），

的最小值为3．

故选：．

例15．直线分别与曲线，相交于，两点，则的最小值为　　

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：令，

则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，即时，取得最小值（1），

的最小值为2．

故选：．