备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题16-向量中的隐圆问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题16向量中的隐圆问题【考点预测】一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．二．极化恒等式和型：定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．三．定幂方和型若为定点，，则的轨迹为圆．证明：．四．与向量模相关构成隐圆【典例例题】例1．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D例2．已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.【详解】设，向量的夹角为，则，则，因为，所以.不妨设，，设，则，整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，又，即，当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.故选：A.【点睛】本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.例3．平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．【答案】##【解析】【分析】设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.【详解】由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，由于,∴，∴，即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,故，故答案为：例4．已知，满足，，则的最大值为______．【答案】4【解析】【分析】，，得到，，从而画图，点A，B在以原点为圆心，以为半径的圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公式和性质求得结果.【详解】因为，，如图，圆O的半径为，点A，B在圆上，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，设，，则，．设，则，当时，有最大值，最大值为4，此时，的最大值为4．故答案为：4.例5．已知平面向量，满足＝＝1，·＝－，若＝1，则的最大值为______.【答案】##【解析】【分析】以P为原点，PA为x轴建立坐标系，求出C的轨迹即可求解.【详解】如图，以P为原点，PA为x轴建立坐标系.∵＝＝1，·＝－，∴∠APB＝120°，∵＝1，故C在以B为圆心，1为半径的圆B上，，，，∴的最大值为：.故答案为：.