备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题21-立体几何中的轨迹问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题21

立体几何中的轨迹问题

【题型归纳目录】

题型一：由动点保持平行求轨迹

题型二：由动点保持垂直求轨迹

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹

题型五：投影求轨迹

题型六：翻折与动点求轨迹

【典例例题】

题型一：由动点保持平行求轨迹

例1．（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（       ）

A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为

B．满足的点P的轨迹长度为

C．存在点P，使得平面AMP经过点B

D．存在点P满足

【答案】AD

【解析】

对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，

由正方体的性质知，，，，

所以平面平面，又平面，平面，

故点的轨迹为线段，故A正确；

以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，，设，且，，

，，

对于B，，即，

又，，则点的轨迹为线段，，

且，故B错误；

对于C，设，且，，

若平面AMP经过点B，则，且，

又，

所以，即，

因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；

对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，

故，故存在点满足，故D正确．

故选：AD

例2．已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．

【答案】

【解析】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系，

为等边三角形，，，，

，，，

设，由得：，

整理可得：，

动点的轨迹是以为球心，为半径的球；

延长到点，使得，，，

则，，又平面，平面，

平面，平面，由，平面，

平面平面，即平面为平面，

则点到平面的距离即为点到直线的距离，

，，，即，

点到直线的距离，

截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为，

即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为．

故答案为：．

【方法技巧与总结】

（1）线面平行转化为面面平行得轨迹

（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹

题型二：由动点保持垂直求轨迹

例3．直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．

【答案】    

【解析】由点为的中点可得，点到平面的距离是点到平面距离的一半，则点到平面的距离为，

故点到平面的距离为；

，点为的中点，

，

设以为球心，的长为半径的球与平面所截得的圆的半径为，则，

则动点的轨迹即为以正方形的中心为圆心，为半径的圆留在正方形内的圆弧，如图，为中点，所以，所以，

所以，点轨迹所形成的圆弧长为．

故答案为：；．

例4．已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________．

【答案】    

【解析】取中点，则，

∴平面，，又，

∴，

则三棱锥的高，

三棱锥体积为；

作，设点轨迹所在平面为，

则平面经过点且，

设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，

易知平面平面，且四点共面，

由题可得，，

解Rt，得，又，

则三棱锥外接球半径，

易知到平面的距离，

故平面截外接球所得截面圆的半径为，

∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为．

故答案为：；．

【方法技巧与总结】

（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹

（2）利用空间坐标运算求轨迹

（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹

题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹

例5．（多选题）在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（       ）

A．点P的轨迹的长度为 B．点Q的轨迹的长度为

C．PQ长度的最小值为 D．PR长度的最小值为

【答案】BCD

【解析】对于A，取BC的中点N，连接AN，，则，，所以平面，平面，

又平面，平面，，所以平面平面，

又点P在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，所以点P的轨迹为线段AN，

因为，所以点P的轨迹的长度为，故A不正确；

对于B，连接DQ，因为Q在底面ABCD上，，所以，解得，

所以点Q的轨迹是以点D为圆心，以为半径的圆，如下图所示，

所以点Q的轨迹的长度为，故B正确；

对于C，过点D作于，交点Q的轨迹于，此时的长度就是PQ长度的最小值，

而，所以，所以，即，解得，所以，

所以PQ长度的最小值为，故C正确；

，

对于D，因为点R到平面的距离等于它到点D的距离，由正方体的特点得点R到直线的距离等于点R到平面的距离，

所以点R到直线的距离等于它到点D的距离，根据抛物线的定义知点R的轨迹是以点D为焦点，以AB为准线的抛物线，

以AD的中点为坐标原点O，过点O且垂直于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，

则，，，直线AB的方程为，直线AN的方程为，

则抛物线的方程为，设与直线AN平行且与抛物线相切的直线l的方程为：，

联立，整理得，，解得，

所以直线l的方程为：，

则直线AN与直线l的距离为：，

所以PR长度的最小值为，故D正确，

故选：BCD．

【方法技巧与总结】

（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹

（2）利用空间坐标计算求轨迹

题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹

例6．已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．

【答案】

【解析】如图所示，连接交平面于，连接，

由题意可知平面，

所以是与平面所成的角，

所以＝．

由可得，即．

在四面体中，，，

所以四面体为正三棱锥，为的重心，

如图所示：

所以解得，，

又因为，

所以，

即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，

所以．

故答案为：．

例7．在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【解析】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，

所以，

因为，所以，

所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，

则点的轨迹为圆弧．

连接，则，

因为，，

所以，

则弧的长度，

所以．

故选：C．

【方法技巧与总结】

（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面．

（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面

（3）利用空间坐标系计算求轨迹

题型五：投影求轨迹

例8．如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．

【答案】

【解析】如图所示：因为与平面所成的角为30°，点在平面上的射影，，

所以，

所以的轨迹为直角三角形绕斜边旋转所形成的轨迹，

在直角中，作，垂足为，

因为，可得，

即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，

又因为二面角的平面角的大小为，

所以点的轨迹的长度等于．

故答案为：．

题型六：翻折与动点求轨迹

例9．如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（       ）

A．四棱锥体积的最大值为

B．PD的中点F的轨迹长度为

C．EP，CD与平面PAD所成的角相等

D．三棱锥外接球的表面积有最小值

【答案】B

【解析】由已知条件可知，梯形AECD的面积为6，，直角斜边AE上的高为，当平面平面AECD时，四棱锥的体积取得最大值，

即，则正确；

取的中点，连接，，，则且，

∴四边形ECFG是平行四边形，

∴点的轨迹与点的轨迹形状完全相同．过作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以为圆心，为半径的半圆弧，从而PD的中点的轨迹长度为，

则错误；

由四边形ECFG是平行四边形，知，则平面PAD，

则E，C到平面PAD的距离相等，

故PE，CD与平面PAD所成角的正弦值之比为，则正确；

△外接圆的半径为，为的中点，直角△外接圆的半径为，为的中点，是圆与圆的公共弦，，

设三棱锥外接球的球心为，半径为，

则，

因为，所以，所以球表面积的最小值为，

则正确，

故选：．