备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题22-立体几何中的压轴小题

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2024高考数学二轮复习重难点专题22立体几何中的压轴小题【题型归纳目录】题型一：球与截面面积问题题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题题型四：立体几何中的交线问题题型五：空间线段以及线段之和最值问题题型六：空间角问题题型七：立体几何装液体问题【典例例题】题型一：球与截面面积问题例1．已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（       ）A． B． C． D．【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：设，连接、、，可知点为的中点，因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，设，且，，所以，球的半径为，在中，，，，，在中，，，由余弦定理可得，平面，平面，平面，则，，，设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则．当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，此时，取最小值，即．由题意可得，，解得．所以，，因此，球的表面积为．故选：B．例2．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（       ）A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为C．为定值 D．不确定，与，的位置有关【解析】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．故选：C．           题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题例3．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：①异面直线与直线所成角的大小为定值；②二面角的大小为定值；③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．其中真命题有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面，故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，，此时，的值最小．由题可知，，，，则，，故，又，故的最小值为，故③正确．对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则，由余弦定理得，故，同理，故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，则，过点作的垂线．此时平面，又平面，故．故④错误．故选：C． 例4．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（       ）A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为C．为定值 D．不确定，与，的位置有关【解析】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．故选：C．题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题例5．如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（       ）A． B．三棱锥的体积为定值C． D．的最小值为【解析】由平面，可得，则由，可得平面又平面，则，所以A项命题正确；由于M，N分别为中点，可得∥因为点P在上，所以点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积由于和h都为定值所以三棱锥的体积为定值，所以B项命题正确；设，由对称性可得，则当P与C重合时，，此时，达到最小为，当交于P时，由等面积法可得，此时，达到最大为，所以C项命题正确；将平面与平面沿展成平面图，当交于P时，可得，此时为最小值，所以D项命题错误；故选D．题型四：立体几何中的交线问题例6．如图1，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的是（       ）A．､､､四点一定共面B．存在点，使得平面C．侧面与侧面的交线与直线相交D．三棱锥的体积为定值【解析】A．假设､､､四点共面，则直线EC与BF共面，若EC与BF平行，又EC与AD平行，则AD与BF平行，这与AD与BF相交矛盾；若EC与BF相交，设交点为Q，则Q即在平面BAD内，又在平面AECD内，则点Q在交线AD上，这与EC与AD平行矛盾，所以假设不成立，所以B、E、C、F不共面，故错误；B．如图所示：在AD上取点G，使得AG=EC，当时，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，则平面，故存在点，使得平面，故正确；C．设侧面与侧面的交线为l，因为，且面，面，所以面，则，所以，故错误；D．因为二面角为直二面角，当点E移动时，点B到AE的距离即三棱锥的高变化，而是定值，故三棱锥的体积不是定值，故错误；故选：B例7．（多选题）如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心．线段是圆柱的一条母线，且．已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”．记平面与圆柱侧面的交线为曲线．则（       ）A．曲线是椭圆的一部分 B．曲线是抛物线的一部分C．二面角的大小为 D．马蹄体的体积为满足【解析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点，过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线，同是上面球的切线，可得，，则，由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接，由，，知面，故，则为二面角的平面角，又，则，C正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为为圆柱体的，即为，D错误．故选：AC．题型五：空间线段以及线段之和最值问题例8．已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（       ）A． B． C． D．【解析】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示．设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，易知：三点均在上，且平面，设内切球的半径为，外接球的半径为，则．由等体积法：，得，由等体积法：，得，将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，∴两点间距离的最小值为．故选：B．题型六：空间角问题例9．如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（       ）．A． B．C． D．【解析】如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为，设，因为平面，平面，故，而，故平面，而平面，所以，故，又，．在直角三角形中，，同理，故，同理，故，故，整理得到，故，整理得到即，若，由可得即，但，故，即，矛盾，故．故A正确，B错误．由可得，而均为锐角，故，，故CD错误．故选：A．    题型七：立体几何装液体问题例10．已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2．在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（       ）①液面刚好同时经过，，三点；②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为；③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为．A．0 B．1 C．2 D．3【解析】①若液面刚好同时经过，，三点，则液体的体积为四棱锥，因为，所以①正确；②当平面与液面成直二面角时，即为图2的位置，设液面与直三棱柱的交点为，如图所示，因为直三棱柱的体积为，所以直棱柱的体积为，所以，即，则在中边上的高为，因为在中边上的高为，所以液面与水平桌面的距离为，所以②正确；③当液面刚好同时经过，，三点时，如图所示，此时，则，易得，则中边上的高为，所以，设点到平面的距离为，则，即，即液面与水平桌面的距离为，由棱柱的对称性可得点到平面的距离为，设与液面所成角为，则，所以③正确，所以①②③正确，故选：D