备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题30-圆锥曲线中的向量问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题30圆锥曲线中的向量问题【题型归纳目录】题型一：向量的单共线题型二：向量的双共线题型三：三点共线问题题型四：向量中的数量积问题题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量【典例例题】题型一：向量的单共线例1．在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点，且以AB为直径的圆O与以PM为直径的圆内切.(1)证明为定值，并求点P的轨迹的方程.(2)过点A的直线与轨迹交于另一点Q（异于点B），与直线交于一点G，∠QNB的角平分线与直线交于点H，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)如图，以为直径的圆与以为直径的圆内切，则.连接，因为点O和分别是和的中点，所以.故有，即，又，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆.因为，，所以，故的方程为.(2)存在满足题意.理由如下：设，，.显然.依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为，因为点G在这条直线上，所以，.联立得的两根分别为和0，则，，所以，.设，则，则，，所以，整理得，因为，所以，即.故存在常数，使得.例2．已知椭圆C：，过C上一点的切线l的方程为．（1）求椭圆C的方程．（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由．【解析】（1）联立：，消去x并整理得：，又椭圆C与直线l相切，，化简得：①，又点在椭圆C上，②，由①②解得：，，椭圆C的方程为；（2）轴上存在点P，使得，理由如下：设直线的方程为，联立，消去y并整理得：，，设，则，假设存在点满足条件，由于，平分，由题意知直线PA与直线PB的倾斜角互补，，即，即，， 代入并整理得，，整理得：，即，当时，无论k取何值均成立，存在点使得．题型二：向量的双共线例3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是拋物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：.【解析】设椭圆C的方程为（>>）抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即由，∴，椭圆C的方程为（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入方程并整理，得∴，又，，，，而，，即，∴，，所以题型三：三点共线问题例4．设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.(1)求的值；(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为，不妨设，因为三角形的面积为，所以，所以，又，所以.（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，若直线与轴交于点，故可设直线的方程为，设，，则，联立，得，且，化简得且，所以，，因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，因为，，三点共线，所以，即，即，所以，因为，所以，所以，所以，化简得，所以经过轴上的定点.题型四：向量中的数量积问题例5．已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.(1)求线段的中点的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，则应用点差法：，两式联立作差得：，∴，又∵，∴，化简得（），②当直线不存在斜率时，，综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，联立并化简得：，∴恒成立，∴，，又，，，，∴，，若使为定值，只需，即，其定值为，②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，又，，，，∴，当时，也为定值，综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，使为定值. 题型五：将几何关系中的线段长度乘积转换为向量例6．如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于．证明：为定值.【解析】不妨设切线方程为，联立切线方程和椭圆方程，消去得，所以△，得，即，由韦达定理可得，解得，所以，可求得，，为定值．例7．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；（Ⅱ）求的最大值．【解析】（Ⅰ）由题可知，，所以，故直线斜率的取值范围是：；（Ⅱ）由知，，所以，，设直线的斜率为，则，即，则，，联立直线、方程可知，，故，，又因为，故，所以，令，，则，由于当时，当时，故，即的最大值为．