备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题36-双切线问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题36双切线问题【方法技巧与总结】双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.解题思路：①根据曲线外一点设出切线方程．②和曲线方程联立，求出判别式．③整理出关于双切线斜率的同构方程．④写出关于的韦达定理，并解题．【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：斜率问题题型三：交点弦过定点问题题型四：交点弦定值问题题型五：交点弦最值问题题型六：交点弦范围问题      【典例例题】题型一：定值问题例1．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；（3）求的最小值．                     例2．已知抛物线焦点为．过点的弦长最小值为4．过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．另一直线过点与抛物线相交于两点，，与直线相交于点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）问是否为定值？若是，求出定值；若不是，求其最小值．                 题型二：斜率问题例3．设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（Ⅰ）若点为，求直线的方程；（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．                例4．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且△的周长是（1）求椭圆的方程；（2）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．                   题型三：交点弦过定点问题例5．设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；（2）求证：直线恒过定点；（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．                     题型四：交点弦定值问题例6．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．                      题型五：交点弦最值问题例7．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为、．（1）设抛物线上一点到直线的距离为，为焦点，当时，求抛物线方程；（2）若，求线段的长；（3）求到直线的距离的最小值．                   题型六：交点弦范围问题例8．如图，设抛物线的焦点为，点是半椭圆上的一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线、分别交轴于点、．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的取值范围．