备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题37-切线与切点弦问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题37切线与切点弦问题【方法技巧与总结】1、点在圆上，过点作圆的切线方程为．2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．3、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．4、点在圆上，过点作圆的切线方程为．5、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．6、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．7、点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．8、点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．9、点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．10、点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．11、点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．12、点在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．13、点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．14、点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．15、点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．【题型归纳目录】题型一：切线问题题型二：切点弦过定点问题题型三：利用切点弦结论解决定值问题题型四：利用切点弦结论解决最值问题题型五：利用切点弦结论解决范围问题    【典例例题】题型一：切线问题例1．已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点．（1）求，的方程；（2）如图，过点，作椭圆的切线交于，两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：①证明：点与点关于原点中心对称；②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程．         题型二：切点弦过定点问题例2．已知经过圆上点，的切线方程是．（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点，的切线方程；（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，①求证：直线过定点．②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程．                    题型三：利用切点弦结论解决定值问题例3．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点（1）求椭圆的标准方程（2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的切线，切点分别为，，不在坐标轴上），若直线的横纵截距分别为，，求证：为定值                     题型四：利用切点弦结论解决最值问题例4．已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且．（1）求抛物线的方程；（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，，与抛物线相切于点，，与轴分别交于点，，求四边形面积的最大值．                 题型五：利用切点弦结论解决范围问题例5．如图，已知点在半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，直线，，分别与轴交于点，，，记的面积为，的面积为．（Ⅰ）若抛物线的焦点坐标为，求的值和抛物线的准线方程；（Ⅱ）若存在点，使得，求的取值范围．