广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年度上学期第一次月考考试高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5．本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册第一章~第二章2.3．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线的倾斜角分别为，则（    ）A． B．C． D．2．下列条件一定能确定一个平面的是（    ）A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线3．函数的最小值为（    ）A． B． C． D．4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）A． B． C． D．5．在正四面体中，其外接球的球心为，则（    ）A． B．C． D．6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）A． B． C．1 D．27．如图，在三棱柱中，为的中点，为侧面上的一点，且平面，若点的轨迹长度为2，则（    ）A． B． C． D．8．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（    ）A． B． C． D．5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（    ）A．直线过定点B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为2，在轴上的截距为1的直线方程为D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为10．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，分别为上、下底面的直径，为圆台的母线，为弧的中点，则（    ）A．圆台的侧面积为 B．直线与下底面所成的角的大小为C．圆台的体积为 D．异面直线和所成的角的大小为11．已知，则（    ）A．若，则B．若，则C．若，则的最大值为D．，使得12．已知正方体的边长为2，分别为、的中点，则下列结论正确的是（    ）A．  B．平面C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，则________．14．使三条直线不能围成三角形的实数的值为________．15．已知在长方体中，分别为的中点，为上任意一点，则异面直线与所成的角为________．16．如图，已知正方体的棱长为4，分别是棱的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是________；的最大值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在三棱锥中，底面为的中点，．（1）求证：平面；（2）求证：平面．18．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求；（2）若，求的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面是的中点，为等腰直角三角形，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，为的中点，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知直线．（1）为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值；（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．22．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点，为的中点，，点为线段上的动点（不包括线段的端点）．（1）若平面，请确定点的位置；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．2023~2024学年度上学期第一次月考考试·高二数学参考答案、提示及评分细则1．A  由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．故选A．2．D  由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．故选D．3．D  ．4．C  因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，直线可变形为，所以两平行线之间的距离．故选C．5．C  由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，设三角形的中心为点的中点为，则，，．故选C．6．B  因为为的中点，则，由圆锥的几何性质可知平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则取，可得，又因为，所以点到平面的距离为．故选B．7．B  如图，取的中点的中点，连接，由，可得平面平面，故点的轨迹为线段，又由，可得．故选B．8．A  ，，故，故选A．9．AB  对于A，直线恒过定点，A正确；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为2，在轴上的截距为1的直线方程为，C错误；对于D，经过点且在轴和轴上截距相等的直线过原点时，方程为，当该直线不过原点时，方程为，D错误．故选AB．10．ABD  过点作，取的中点，连接，圆台的高，圆台的侧面积为，圆台的体积为．又由，可得，可得与下底面所成的角为．又由平面，可得异面直线和所成的角为，在中，，可得，故异面直线和所成的角为．故选ABD．11．AC  A：与，可得，故A正确；B：．故B错误；C：，当且仅当，时取“=”，故C正确；D：若，则，在上无解，故D错误．故选AC．12．ABC  以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．，A项正确．．设为平面的一个法向量，则，即，令，得，则，平面，则B项正确；点到平面的距离为，C项正确．由图可知，平面，所以是平面的一个法向量，则，故二面角的大小不是，所以D项不正确．13．  ．14．或或  当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形．若三条直线交于一点，由得交点坐标为，把代入到直线，得；若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，它们的斜率分别为，所以或．综上，或或时，直线不能围成三角形．15．  设，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，可得．，即异面直线与所成的角为．16．  12  ，∴点在平面上，分别取的中点，则点的轨迹是正六边形，因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，所以点的轨迹围成图形的面积是．由投影分析的最大值为12．17．证明：（1）平面平面  平面  平面（2）平面平面  为等腰直角三角形，为斜边的中点  平面  平面18．解：（1），即，即；（2）由余弦定理有，当且仅当时取等号，故的最小值为1．19．（1）证明：平面平面，，又是等腰直角三角形，是斜边的中点，，又平面平面，平面，平面，；（2）解：如图以为原点，所在的直线为轴，轴，在平面内，通过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，则，设平面的法向量为，则取，则，故为平面的一个法向量，设与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．20．（1）证明：如图，连接，在中，由可得，，，，，平面，平面；（2）解：由（1）和等腰三角形可知，两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．可得，又由，有，可得点的坐标为，设平面的法向量为，由，有取，可得平面的一个法向量为．设平面的法向量为，由，有取，可得平面的一个法向量为．由，可得平面与平面的夹角的余弦值为．21．解：（1）已知直线，整理得，由故直线过定点，点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，即为最大值．，的斜率为，可得，解得；（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，则可设直线的方程为，则，．（当且仅当时，取“=”），故面积的最小值为12，此时直线的方程为．22．解：（1）如图，连接．，．，．．平面平面平面．若平面，又由平面，平面与平面相交，必有．又为的中点．（2）由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，可得各点坐标如下：．设，有，又由，有，设平面的法向量为，由，有取，可得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，由，有．设，有，．由二次函数的性质可知，当时，时，的最大值为．