高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用练习题

A级　基础巩固

1.多选题(2023·深圳二模)为了研究y关于x的线性相关关系,收集了5组样本数据如下表:

假设经验回归方程为=x+0.28,则 (　　)

A.=0.24

B.当x=8时,y的预测值为2.2

C.样本数据y的40%分位数为0.8

D.去掉样本点(3,1)后,x与y的样本相关系数r不变

解析:由题意,可得=(1+2+3+4+5)×=3,

=(0.5+0.8+1+1.2+1.5)×=1,所以样本点的中心坐标为(3,1),代入=x+0.28,得==0.24,故选项A正确;

经验回归方程为=0.24x+0.28,取x=8,得=0.24×8+0.28=2.2,故选项B正确;

样本数据y的40%分位数为=0.9,故选项C错误;

由相关系数公式可知,去掉样本点(3,1)后,x与y的样本相关系数r不变,故选项D正确.

答案:ABD

2.在大学生建模比赛中,编号为1,2,3,4的4名同学对得到的数据进行分析,其中对变量x,y进行回归分析,得到的结果如表所示.

则这4名同学中建立的经验回归方程的拟合效果最好的是 (　　)

A.1号　

B.2号　

C.3号　

D.4号

解析:根据回归分析的思想,残差平方和越小,模型拟合效果越好,决定系数R2越接近于1,经验回归方程的拟合效果越好,所以由表格中的数据得出3号同学的经验回归方程拟合效果最好.

答案:C

3.根据表中的样本数据得到的经验回归方程为=x+,若=7.9,则x每增加1,估计y              (　　)

A.增加1.4 

B.减少1.4 

C.增加1 

D.减少1

解析:由题意可得,=5,=0.9.

因为经验回归方程为=x+,=7.9,

且经验回归直线过点(5,0.9),所以0.9=5+7.9,解得=-1.4,

所以x每增加1,估计y减少1.4.

答案:B

4.多选题下列关于回归分析的说法中正确的是 (　　)

A.回归直线一定过样本中心(,)

B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适

C.甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和 0.80,则模型乙的拟合效果更好

D.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好

解析:对于A选项,回归直线一定过样本中心(,),A选项正确;对于B选项,残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适,B选项正确;对于C选项,甲、乙两个模型的R2分别约为 0.98 和0.80,则模型甲的拟合效果更好,C选项错误;对于D选项,两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好,D选项正确.

答案:ABD

5.四张残差图如图所示,其中模型的拟合效果最好的是 (　　)

A              B              C              D

解析:四张残差图中,只有选项A,B中的残差图中的残差是均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内,且选项B中的残差分布集中在更狭窄的范围内,所以选项B中模型的拟合效果最好.

答案:B

B级　能力提升

6.已知一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之间满足yi=bxi+a+ei

(i=1,2,…,n),若ei恒为0,则R2的值为1.

解析:由ei恒为0,知yi=,即yi-=0,故R2=1-=1-0=1.

7.某考察团对全国十个城市居民人均工资水平x(单位:千元)与居民人均消费水平y(单位:千元)进行统计调查,调查发现y与x具有线性相关关系,经验回归方程为=0.66x+1.562.若其中某城市居民人均消费水平为7.675千元,则该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为83%.

解析:将y=7.675代入经验回归方程=0.66x+1.562,

可计算得x≈9.262,所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.

8.多选题(2023·湛江一模)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系,在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重,数据如下表所示:

由表中数据制作成的散点图如图所示.

由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为=x+,相关系数为r1,决定系数为;经过残差分析确定(168,89) 为离群点(对应残差过大),把它去掉后,再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线l2的方程为=x+,相关系数为r2,决定系数为.则以下结论中正确的有              (　　)

A.> 

B.>

C.r1<r2 

D.>

解析:由题意知,身高的平均数为(165+168+170+172+173+174+

175+177+179+182)×=173.5,因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5,纵坐标89相对过大,所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大,所以>,<,所以选项A正确,选项B错误;去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强,拟合效果会更好,所以r1<r2,<,所以选项C正确,选项D错误.

答案:AC

9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了四次试验,所得数据如下表所示:

(1)求y关于x的经验回归方程.

(2)预测加工10个零件需要多少时间?

参考公式:==, =-.

解:(1)由已知可得,=3.5,=3.5,

xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5,=4+9+16+25=54,

所以===0.7,

所以=3.5-0.7×3.5=1.05,

所以所求经验回归方程为=0.7x+1.05.

(2)当x=10时,=0.7×10+1.05=8.05,

所以预测加工10个零件需要8.05 h.

C级　挑战创新

10.已知函数模型y=sin2α+2sin α+1,若将y转化为关于t的经验回归方程,则需作变换t=(sin α+1)2. 

解析:因为要转化为y关于t的经验回归方程,实际上就是y关于t的一次函数.由y=(sin α+1)2,若令t=(sin α+1)2,则可得y与t的函数关系式为y=t,此时变量y与变量t呈现出线性相关关系.

11.某共享单车企业在A城市就“每天一辆单车平均成本y(单位:元)与租用单车数量x(单位:千辆)之间的关系”进行了调查,并将相关数据统计如下表所示.

根据以上数据,研究人员设计了两种不同的回归分析模型,得到两个拟合函数:

模型甲:=+0.8,

模型乙:=+1.6.

(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:①完成下表(计算结果精确到0.1元);②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2,并通过比较Q1,Q2的大小,判断哪个模型拟合效果更好.

(2)这家企业在A城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎并供不应求,于是该企业决定增加单车的投放量.根据市场调查,市场投放量达到1万辆时,平均每辆单车一天能收入8元、6元的概率分别为0.6,0.4;市场投放量达到1.2万辆时,平均每辆单车一天能收入8元、6元的概率分别为0.4,0.6.若按(1)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,则该企业投放量选择1万辆还是 1.2 万辆能获得更多利润?(利润=收入-成本)请说明理由.

解:(1)①经计算,可得下表:

②由①中数据,得Q1=0.12+0.12=0.02,Q2=0.12+(-0.2)2=0.05.

因为Q1<Q2,所以模型甲的拟合效果更好.

(2)若投放量为1万辆,由(1)中模型甲可知,

每天一辆单车平均成本约为+0.8=1.28(元),

这样一天获得的总利润为

(8×0.6+6×0.4-1.28)×10 000=59 200(元).

若投放量为1.2万辆,由(1)中模型甲可知,

每天一辆单车平均成本约为+0.8=1.2(元),

这样一天获得的总利润为(8×0.4+6×0.6-1.2)×12 000=67 200(元).

因为67 200>59 200,

所以选择投放1.2万辆能获得更多利润.