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精品解析： 广东省深圳市福田区福景外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中考数学试卷
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2022-2023学年广东省深圳市福田区福景外国语学校八年级（下）期中考数学试卷
一、选择题（共10小题）
1. 垃圾分类人人有责．下列垃圾分类标识是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】A. 不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，符合题意；
C. 不是中心对称图形，不符合题意；
D. 不是中心对称图形，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．
【详解】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意；
B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误，故本选项符合题意；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意；
D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a2+a4＝a6 B. （a+b）2＝a2+b2
C. ﹣a6÷a2＝﹣a3 D. （﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的除法法则、积的乘方法则分别计算，即可得出正确答案．
【详解】解：与指数不同，不是同类项，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法运算和积的乘方运算，熟练掌握各运算法则并正确计算是解题的关键．
4. 若分式 有意义，则的取值范围是( )
A B. C. 且 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得3-x≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：3-x≠0，
解得：x≠3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm
【答案】C
【解析】
【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=6，
∴MN=2．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
6. 观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（ ）
A. x＜ B. ﹣＜x＜0 C. 0＜x＜2 D. ﹣＜x＜2
【答案】D
【解析】
【详解】根据图象得到，3x+1＞0的解集是：x＞﹣，
第二个不等式的解集是x＜2，
∴不等式组的解集是﹣＜x＜2．
故选D．
【点睛】运用了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形．
7. 一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：，请问正确的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．
8. 若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】按照题意把分式中，x、y都扩大到原来的3倍计算化简即可得解．
【详解】解：，所以分式的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的性质，解决这类题目的关键是正确地代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
9. “五一”前夕，某校社团进行爱心义卖活动，先用800元购进第一批康乃馨，包装后售完，接着又用400元购进第二批康乃馨，已知第二批所购数量是第一批所购数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（ ）
A. +1= B. = C. ×= D. 800x=3×400（x+1）
【答案】C
【解析】
【分析】设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可．
【详解】解：设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，
根据题意，
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系列方程是解决问题的关键．
10. 如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论：
平分；；；；．其中正确的结论有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．
易证是等腰直角三角形，故BF．
由≌，推出，由，推出，即．
在中，，易证．
由于≌，推出，推出，于，即可推出．
【详解】解：错误，
，
是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．
正确
，，
，
，
是等腰直角三角形，故BF．
正确，，，
≌，
，
，
，
．
正确在中，，
，是等腰直角三角形，
．
正确≌，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共5小题）
11. 分解因式：= ______.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．
故答案为2（x+y）（x-y）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12. 若一个等腰三角形的顶角等于70°,则它的底角等于________度，
【答案】55
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：一个等腰三角形的顶角等于，
它的底角，
故答案为55．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13. 关于x的分式方程无解,则m＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式方程的解法去掉分母，再代入增根x=2或x=0，分别求出m的值.
【详解】去分母得mx-8=2(x-2)
得mx=2x+4,
∵方程无解，∴m=2，
方程有增根x=0,或x=2，代入解出m=4，
∴
【点睛】此题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟知分式方程有增根的解法.
14. 如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，
∴△PBD等边三角形，
∴PD=PB=，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，
∴BH=PB=，PH=BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28，
∴BC=2，
∴ABC的边长为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．
15. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BC=2AB=2，AC=，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO=，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，
∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
三、解答题（共7小题）
16. 分解因式：
（1）a(x－y)＋16(y－x)；
（2）x2y－9y；
（3）－x2＋4xy－4y2．
【答案】（1）（x－y）（a－16）
（2）y（x＋3）（x－3）
（3）－（x－2y）2
【解析】
【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【小问1详解】
a(x－y)＋16(y－x)
= a(x－y)-16(x－y)
=（x-y）（a-16）；
【小问2详解】
x2y－9y
=y（x2-9）
=y（x+3）（x-3）；
【小问3详解】
－x2＋4xy－4y2
=-（x2-4xy+4y2）
=-（x-2y）2．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17. 解不等式（组）：
（1）4x＋5≥6x－3；
（2）．
【答案】（1）x≤4 （2）1≤x＜4
【解析】
【分析】（1）通过移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可；
（2）分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
移项，得：4x－6x≥－3－5，
合并同类项，得：－2x≥－8，
系数化为1，得：x≤4；
【小问2详解】
解不等式x－3（x－2）≤4，得：x≥1，
解不等式x－1，得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
18. （1）计算：+；
（2）先化简，再求值：(a－1)，请在－1，0，2中选择一个合适的数代入求值．
【答案】（1）a＋b；（2），-1
【解析】
【详解】（1）直接把分母相加，再化简，即可求解；
（2）先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用a＝0 代入，即可求解．
解：（1）原式＝
＝a＋b；
（2）原式
，
∵分母不能为0，
∴且，
∴a＝0，
当a＝0时，原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M．
【详解】（1）①如图所示，△A1B1C1即所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握旋转及平移的性质及网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
20. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
21. 某工厂现有甲种原料360 kg,乙种原料290 kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件.已知生产1件A种产品,需要甲种原料9 kg,乙种原料3 kg,可获利润700元;生产1件B种产品,需要甲种原料4 kg,乙种原料10 kg,可获利润1 200元.
(1)按要求安排A,B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请设计出来.
(2)设生产A,B两种产品所获总利润为y(元),其中一种产品的生产件数为x,试写出y关于x的函数解析式,并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案所获总利润最大,最大利润是多少.
【答案】（1）①安排A种产品30件，B种产品20件；②安排A种产品31件，B种产品19件；③安排A种产品32件，B种产品18件；
（2）y=﹣500x+60000， A种产品30件，B种产品20件，对应方案的利润最大，最大利润为45000元．
【解析】
【详解】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为（50-x）件，则根据生产一件A产品，需要甲种原料共9kg，乙种原料3kg，生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，及有甲种原料360kg，乙种原料290kg，即可列出不等式组，解出不等式组的解，即可得到结论；
（2）根据已知生产一件A产品，可获利润700元；生产一件B种产品，可获利润1200元，可建立函数关系式，利用函数单调性及（1）的结论，即可求得结论．
22. 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．
例：已知代数式，当 时，它有最小值，是 ．
解：
因为，所以．
所以当时，它有最小值，是．
参考例题，试求：
（1）填空：当 时，代数式有最小值，是 ．
（2）已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？
【答案】（1）
（2）当为时，有最小值，是
【解析】
【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值；
（2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
∴当时，它有最小值，是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
∴当，即时，最小，
∴当为时，有最小值，是．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将变形为是解题关键．
2022-2023学年广东省深圳市福田区福景外国语学校八年级（下）期中考数学试卷
一、选择题（共10小题）
1. 垃圾分类人人有责．下列垃圾分类标识是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】A. 不是中心对称图形，不符合题意；
B.是中心对称图形，符合题意；
C. 不是中心对称图形，不符合题意；
D. 不是中心对称图形，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．
【详解】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意；
B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误，故本选项符合题意；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意；
D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. a2+a4＝a6 B. （a+b）2＝a2+b2
C. ﹣a6÷a2＝﹣a3 D. （﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的除法法则、积的乘方法则分别计算，即可得出正确答案．
【详解】解：与指数不同，不是同类项，不能合并，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法运算和积的乘方运算，熟练掌握各运算法则并正确计算是解题的关键．
4. 若分式 有意义，则的取值范围是( )
A B. C. 且 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得3-x≠0，再解即可．
【详解】解：由题意得：3-x≠0，
解得：x≠3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm
【答案】C
【解析】
【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=6，
∴MN=2．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
6. 观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（ ）
A. x＜ B. ﹣＜x＜0 C. 0＜x＜2 D. ﹣＜x＜2
【答案】D
【解析】
【详解】根据图象得到，3x+1＞0的解集是：x＞﹣，
第二个不等式的解集是x＜2，
∴不等式组的解集是﹣＜x＜2．
故选D．
【点睛】运用了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形．
7. 一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：，请问正确的结果为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．
8. 若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大9倍 D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】按照题意把分式中，x、y都扩大到原来的3倍计算化简即可得解．
【详解】解：，所以分式的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的性质，解决这类题目的关键是正确地代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
9. “五一”前夕，某校社团进行爱心义卖活动，先用800元购进第一批康乃馨，包装后售完，接着又用400元购进第二批康乃馨，已知第二批所购数量是第一批所购数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（ ）
A. +1= B. = C. ×= D. 800x=3×400（x+1）
【答案】C
【解析】
【分析】设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可．
【详解】解：设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，
根据题意，
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系列方程是解决问题的关键．
10. 如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论：
平分；；；；．其中正确的结论有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．
易证是等腰直角三角形，故BF．
由≌，推出，由，推出，即．
在中，，易证．
由于≌，推出，推出，于，即可推出．
【详解】解：错误，
，
是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误．
正确
，，
，
，
是等腰直角三角形，故BF．
正确，，，
≌，
，
，
，
．
正确在中，，
，是等腰直角三角形，
．
正确≌，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共5小题）
11. 分解因式：= ______.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【详解】2x2-2y2=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y）．
故答案为2（x+y）（x-y）．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12. 若一个等腰三角形的顶角等于70°,则它的底角等于________度，
【答案】55
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：一个等腰三角形的顶角等于，
它的底角，
故答案为55．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13. 关于x的分式方程无解,则m＝_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式方程的解法去掉分母，再代入增根x=2或x=0，分别求出m的值.
【详解】去分母得mx-8=2(x-2)
得mx=2x+4,
∵方程无解，∴m=2，
方程有增根x=0,或x=2，代入解出m=4，
∴
【点睛】此题主要考查分式方程的解，解题的关键是熟知分式方程有增根的解法.
14. 如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2，PC＝2，则ABC的边长为________．
【答案】2
【解析】
【分析】作BH⊥PC于H，如图，把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，可判断△PBD为等边三角形，利用勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，易得∠BPC=150°，利用平角等于有∠BPH=30°，在Rt△PBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和PH的长，在Rt△BCH中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：作BH⊥PC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，连接PD，如图，
∴CD=AP=4，BD=BP=，∠PBD=60°，
∴△PBD等边三角形，
∴PD=PB=，∠BPD=60°，
在△PDC中，∵PC=2，PD=，CD=4，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△PCD为直角三角形，∠CPD=90°，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=150°，
∴∠BPH=30°，
在Rt△PBH中，∵∠BPH=30°，PB=，
∴BH=PB=，PH=BH=3，
∴CH=PC+PH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2= ()2+52=28，
∴BC=2，
∴ABC的边长为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质与勾股定理的逆定理．
15. 如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BC=2AB=2，AC=，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO=，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，
∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
三、解答题（共7小题）
16. 分解因式：
（1）a(x－y)＋16(y－x)；
（2）x2y－9y；
（3）－x2＋4xy－4y2．
【答案】（1）（x－y）（a－16）
（2）y（x＋3）（x－3）
（3）－（x－2y）2
【解析】
【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【小问1详解】
a(x－y)＋16(y－x)
= a(x－y)-16(x－y)
=（x-y）（a-16）；
【小问2详解】
x2y－9y
=y（x2-9）
=y（x+3）（x-3）；
【小问3详解】
－x2＋4xy－4y2
=-（x2-4xy+4y2）
=-（x-2y）2．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17. 解不等式（组）：
（1）4x＋5≥6x－3；
（2）．
【答案】（1）x≤4 （2）1≤x＜4
【解析】
【分析】（1）通过移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可；
（2）分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
移项，得：4x－6x≥－3－5，
合并同类项，得：－2x≥－8，
系数化为1，得：x≤4；
【小问2详解】
解不等式x－3（x－2）≤4，得：x≥1，
解不等式x－1，得：x＜4，
则不等式组的解集为1≤x＜4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．
18. （1）计算：+；
（2）先化简，再求值：(a－1)，请在－1，0，2中选择一个合适的数代入求值．
【答案】（1）a＋b；（2），-1
【解析】
【详解】（1）直接把分母相加，再化简，即可求解；
（2）先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用a＝0 代入，即可求解．
解：（1）原式＝
＝a＋b；
（2）原式
，
∵分母不能为0，
∴且，
∴a＝0，
当a＝0时，原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①平移△ABC，使点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣3），请画出平移后的△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2．
（2）若将△A1B1C1绕点M旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心M点的坐标 ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）（0，﹣3）
【解析】
【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是旋转中心M．
【详解】（1）①如图所示，△A1B1C1即所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
（2）如图，连接C1C2，B1B2，交于点M，则△A1B1C1绕点M旋转180°可得到△A2B2C2，
∴旋转中心M点的坐标为（0，﹣3），
故答案为（0，﹣3）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握旋转及平移的性质及网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
20. 已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）BE＝2．
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到AC是△EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可得到CE=CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE=AB,在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长．
【详解】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，其中，判定△AEB是等边三角形是解题的关键．
21. 某工厂现有甲种原料360 kg,乙种原料290 kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件.已知生产1件A种产品,需要甲种原料9 kg,乙种原料3 kg,可获利润700元;生产1件B种产品,需要甲种原料4 kg,乙种原料10 kg,可获利润1 200元.
(1)按要求安排A,B两种产品的生产件数,有哪几种方案?请设计出来.
(2)设生产A,B两种产品所获总利润为y(元),其中一种产品的生产件数为x,试写出y关于x的函数解析式,并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案所获总利润最大,最大利润是多少.
【答案】（1）①安排A种产品30件，B种产品20件；②安排A种产品31件，B种产品19件；③安排A种产品32件，B种产品18件；
（2）y=﹣500x+60000， A种产品30件，B种产品20件，对应方案的利润最大，最大利润为45000元．
【解析】
【详解】（1）设安排生产A种产品x件，则生产B件产品为（50-x）件，则根据生产一件A产品，需要甲种原料共9kg，乙种原料3kg，生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，及有甲种原料360kg，乙种原料290kg，即可列出不等式组，解出不等式组的解，即可得到结论；
（2）根据已知生产一件A产品，可获利润700元；生产一件B种产品，可获利润1200元，可建立函数关系式，利用函数单调性及（1）的结论，即可求得结论．
22. 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．
例：已知代数式，当 时，它有最小值，是 ．
解：
因为，所以．
所以当时，它有最小值，是．
参考例题，试求：
（1）填空：当 时，代数式有最小值，是 ．
（2）已知代数式，当为何值时，它有最小值，是多少？
【答案】（1）
（2）当为时，有最小值，是
【解析】
【分析】（1）根据平方的非负性，可知当时，取最小值0，所以当时，有最小值，易求此值；
（2）先运用配方法变形，得出最小时，即，然后得出答案．
【小问1详解】
解：，
，
∴当时，它有最小值，是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
∴当，即时，最小，
∴当为时，有最小值，是．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和配方法的应用，注意任意数的偶次方的最小值是0，（2）中运用配方法将变形为是解题关键．
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