精品解析：广东省深圳高级中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷

深圳高级中学2022－2023学年第二学期

八年级期中考试数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为米的碳纳米管．数据用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．

【详解】解：，

故选：B．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．

2. 下列从左到右的变形，是分解因式的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法即可求解．

【详解】解：A．从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；

B．从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；

C．等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；

D．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于能否正确应用因式分解的定义来判断．

3. 已知“”，则下列不等式中，不成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项成立，不符合题意；   

B. ，故该选项成立，不符合题意；   

C. ，故该选项不成立，符合题意；   

D. ，故该选项成立，不符合题意．

故选C．

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ）

A. 2，3，4 B. 1，， C. 4，6，8 D. 5，12，15

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．

【详解】解：A、∵，

∴，

∴不能构成直角三角形，

故A不符合题意；

B、∵，

∴，

∴能构成直角三角形，

故B符合题意；

C、∵，

∴，

∴不能构成直角三角形，

故C不符合题意；

D、∵，

∴，

∴不能构成直角三角形，

故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

5. 已知等腰中，，则的度数为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或或

【答案】D

【解析】

【分析】此题分为：为顶角、为顶角和、同为底角，再根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质求得的度数．

【详解】解：当为顶角时，则；

当为顶角时，则；

当、为底角时，则.

故选：D．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论．

6. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出和的长，即可求出答案．

【详解】解：是的垂直平分线，

，

的周长为，

，

，

的周长为：；

故选：B．

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

7. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解．

【详解】解：∵将点)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，

∴，

∴，

∴点的坐标是．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

8. 如图，在边长为1正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（        ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．

【详解】解：如图，连接、，

，

，

设C点到的距离为h，

∵，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．

9. 如图，在△ABC中，，，点P从点B开始以速度向点C移动，当为直角三角形时，则运动的时间为（    ）

A.  B. 或 C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】分当，或当时两类讨论计算即可．

【详解】解：∵在△ABC中，，，

∴，，

当时，在中，，

∴，

∴运动时间为，

当时，在中，，

∴

，

∴运动时间为，

综上，运动时间为或，

故选D．

【点睛】本题主要考查利用勾股定理解直角三角形，能够熟练分类讨论直角是解题关键．

10. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D,过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G,则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH;其中正确的是(   )

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】A

【解析】

【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②③先根据直角的关系求出，然后利用角角边证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得，对应角相等可得 然后利用平角的关系求出 ，再利用角角边证明△ABP与△FBP全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解；
④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF>AP，从而得出本小题错误．

【详解】①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，

∴

在△ABP中,

，故本小题正确；

②③∵

∴

∴∠AHP=∠FDP，

∵PF⊥AD，

∴

在△AHP与△FDP中，

∴△AHP≌△FDP(AAS)，

∴DF=AH，

∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，

∴

又∵

∴∠PAE=∠PFD，

∵∠ABC的角平分线，

∴∠ABP=∠FBP，

在△ABP与△FBP中，

∴△ABP≌△FBP(AAS)，

∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；

∵BD=DF+BF，

∴BD=AH+AB，

∴BD−AH=AB，故③小题正确；

④∵PF⊥AD, 

∴AG⊥DH，

∵AP=PF，PF⊥AD，

∴

∴

∴DG=AG，

∵ AG⊥DH，

∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，

∴DG=AG，GH=GF，

∴DG=GH+AF，

∵AF>AP，

∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，

综上所述①②③正确．

故选A.

【点睛】考查直角三角形的性质, 角平分线的定义, 垂线, 全等三角形的判定与性质，难度较大.掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

二、填空题（每题3分，共15分）

11. 分解因式：3m2﹣6mn+3n2＝_____．

【答案】3（m-n）2

【解析】

【详解】原式==

故填：

12. 如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为______．

【答案】

【解析】

【分析】先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．

【详解】解：由题意得：

把点A代入可得，

解得：，

∴点A的坐标为，

由图象可得当关于x的不等式时，则需满足在点A的右侧，即的图象在的图象下方，

∴不等式的解集为；

故答案为：．

【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式是解题的关键．

13. 已知多项式可以按完全平方公式进行因式分解，则________________．

【答案】或6##6或-18

【解析】

【分析】利用完全平方公式的结构特征即可求出m的值．

【详解】解：多项式，

∵该多项式可以按完全平方公式进行因式分解，

∴或，

解得或．

故答案为：或6．

【点睛】本题主要考查运用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．

14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，则的长为____________．

【答案】7

【解析】

【分析】连接，首先根据线段垂直平分线的性质，可得，再根据三角形外角的性质，可得，再利用勾股定理可求的长，据此即可求解．

【详解】解：连接，如图：

由作图可知：是线段的垂直平分线，

∴，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

故答案为：7．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定可理，熟练掌握和运用线段垂直平分线的作法和性质是解决本题的关键．

15. 如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为____________．

【答案】

【解析】

【分析】将绕点顺时针旋转得到，则，即，，三点在同一直线上，当时，的长度最小，得出为的中位线，进而即可求解．

【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，

则此时，，三点在同一直线上，

，，

，

随着点运动，总有，，

总有，即，，三点在同一直线上，

的运动轨迹为线段，

当时，的长度最小，

中，，，，

，，即为的中点，

，，

，为的中位线，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，垂线段最短，得到点的轨迹是解题的关键．

三、解答题（共55分）

16. 计算与因式分解：

（1）计算：；

（2）因式分解：．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据实数的运算法则解题即可；

（2）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．

【小问1详解】

原式

；

【小问2详解】

．

【点睛】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，提公因式法和公式法因式分解，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．

17. 解不等式组，并求出它的非负整数解．

【答案】不等式组的解集为，不等式组的非负整数解为0，1

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后可得其非负整数解．

【详解】解：解不等式得：，

解不等式得：，

∴不等式组的解集为，

∴不等式组的非负整数解为0，1．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．

18. 为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．

问卷情况统计表：

（1）本次调查的样本容量是_______，统计表中m=_________；

（2）在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是_________；

（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数．

【答案】（1）200，40   

（2）18    （3）约为400人

【解析】

【分析】（1）从两个统计图中可知，“C篮球”的人数80人，占调查人数的40%，可求出本次调查的样本容量，进而求出m的值；

（2）“B排球”的人数10人，据此可求得相应的圆心角；

（3）用总人数乘以“A乒乓球”的学生所占的百分比即可．

小问1详解】

解：本次调查的样本容量是：80÷40%=200（人），

m=200-10-80-70=40；

故答案为：200，40；

【小问2详解】

解：扇形统计图中B部分扇形所对应的圆心角是360°×=18°，

故答案为：18；

【小问3详解】

解：（人），

估计该校最喜欢“A乒乓球”的学生人数约为400人．

【点睛】此题考查统计表、扇形统计图的结合，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提．

19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．

（1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出平移后的图形．

（2）求的面积．

（3）若点是轴上的一个动点，则的最小值为　　，此时点的坐标为　　．

【答案】（1）见解析    （2）3   

（3）；

【解析】

【分析】（1）利用点和点坐标得到平移规律，然后利用此规律写出的坐标和的坐标，然后描点即可得到为所作；

（2）利用割补法求解即可；

（3）作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后利用待定系数法法求出直线的解析式，再计算出自变量为0对应的函数值即可得到点坐标．

【小问1详解】

解：平移后，

，；如图：

【小问2详解】

面积；

【小问3详解】

作点关于轴的对称点为，连接交轴于点，如图，根据最短路径可知，

设直线的解析式为，

把，代入得，，

解得，，

所以直线的解析式为，

当时，，解得，

此时点坐标为，

故答案为：；．

【点睛】本题考查了作图-平移变换，确定平移后图形的基本要素是平移方向，平移距离，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

20. 如图，点C在线段上，平分．

（1）证明：；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）见解析    （2）12

【解析】

【分析】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立；

（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积．

【小问1详解】

证明：∵，

∴，

在和中，

，

∴；

【小问2详解】

解：由（1）知，

∴，

又∵平分，

∴，

∴垂直平分，

∵．

∴，

∴，

即的面积是12．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．

21. 为持续做好疫情防控工作，我校计划购买甲、乙两种额温枪．经市场调研得知：购买1个甲种额温枪和2个乙种额温枪共需700元，购买2个甲种额温枪和3个乙种额温枪共需1160元．

（1）求每个甲种额温枪和乙种额温枪各多少元；

（2）我校准备购买甲、乙两种型号的额温枪共50个，其中购买甲种额温枪不超过乙种额温枪．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．

【答案】（1）每个甲种额温枪220元，每个乙种额温枪240元；（2）买25个甲种额温枪，25个乙种额温枪总费用最少，最少为11500元

【解析】

【分析】（1）设每个甲种额温枪x元，每个乙种额温枪y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设购买m个甲种额温枪，则购买（50﹣m）个乙种额温枪，总费用为w元，根据题意写出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质可得答案．

【详解】解：（1）设每个甲种额温枪x元，每个乙种额温枪y元，根据题意得：

，

解得：．

答：每个甲种额温枪220元，每个乙种额温枪240元；

（2）设购买m个甲种额温枪，则购买（50﹣m）个乙种额温枪，总费用为w元，

根据题意得：w＝220m＋240（50﹣m）＝﹣20m＋12000

∵m≤50﹣m，

∴m≤25，即0≤m≤25且m为整数．

∵﹣20＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝25时，w取最小值，w最小值＝﹣20×25＋12000＝11500（元）．

答：买25个甲种额温枪，25个乙种额温枪总费用最少，最少为11500元．

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用，根据题意列出关于总费用的表达式是解题的关键．

22. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．

①分组分解法：

例如：．

②拆项法：

例如：．

（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：

①（分组分解法）；

②（拆项法）；

（2）已知：a、b、c为的三条边，，求的周长．

【答案】（1）①；②   

（2）14

【解析】

【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可；

（2）先把所给式子进行分组分解因式，然后根据方非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形周长公式进行求解即可．

【小问1详解】

解：①

；

②

；

【小问2详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴的周长为14．

【点睛】本题主要考查了分组分解因式，分解因式的应用，数量掌握分组分解因式的方法是解题的关键．

23. 如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．

（1）求证：；

（2）如图3，若，，且旋转角为时，求的长；

（3）如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据旋转得到，根据等边得到即可得到证明；

（2）根据，得到，过点E作于点F，根据旋转角得到，得到，再根据正切计算即可得到答案；

（3）根据可得，，结合可得，根据得到，，，即可得到，从而得到即可得到，，得到，即可得到答案；

【小问1详解】

证明：∵绕点A顺时针旋转，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

在与中，

；

【小问2详解】

解：∵，，

∴，

过点E作于点F，

∵旋转角为，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴；

【小问3详解】

解：∵，

∴，，

又∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形行的性质，三角形全等的性质与判定及三角函数，解题的关键是根据三角形全等得到角相等边相等，结合角度得到等角．