精品解析：广东省深圳市宝安区松岗中学等六校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年广东省深圳市宝安区松岗中学等六校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个正确的）

1. 三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（　　）

A. ，， B. ，，

C. ，， D. ，，

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理进行判断即可得到答案．

【详解】A．∵，∴是直角三角形；

B．∵，∴是直角三角形；

C．∵，∴是直角三角形；

D．∵，∴不是直角三角形；

故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形.．

2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是 （　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式得到，根据数轴表示数的方法得到解集在的左边．

【详解】解：，

移项得：，

系数化为1，得：．

故选：A．

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．

3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．

【详解】解：A、，不是因式分解，故A错误；

B、，是因式分解，故B正确；

C、，不是因式分解，故C错误；

D、,不是因式分解，故D错误；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了因式分解，正确掌握因式分解的定义是解题关键．

4. 在下列不等式组中，无解是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据确定不等式组的解集的方法逐项作出判断即可．

【详解】解：A.的解集为，不合题意；

B. 的解集为，不符合题意；

C. 的解集为，不合题意；

D. 无解，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了确定不等式组解集的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”求解．

5. 在下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A.    B.    C.    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

B．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形；

C．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；

D．此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．

故选：B．

【点睛】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6. 下面是小明解不等式的过程：

解：去分母，得…①

移项，得…②

合并同类项，得…③

两边同时除以，得…④

小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是（　　）

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④

【答案】C

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1逐一判断即可．

【详解】解：小明的计算步骤①中，常数没有乘以2，此步骤错误；

步骤④中，两边同时除以，不等号的方向没有改变，此步骤错误；

综上分析可知，出错的步骤是①④．

故选：C．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，特别要注意系数化为1时，系数是负数的，不等号要改变方向．

7. 如图，在和中，．在以下条件：①；②；③；④；⑤中，再选一个条件，就能使，共有（　　）选择．

A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种

【答案】C

【解析】

【分析】先得到，若添加，则可根据“”判断；若添加，则可根据“”判断；于是，然后利用前面的结论可得到；若添加，则，于是可利用“”判断；若添加，则可直接利用“”判断．

详解】解：∵，，∴，

在和中，

，

∴，所以（1）正确；

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，所以（2）正确；

∵，

∴，

在和中，

，

∴，所以（4）正确；

在和中，

，

∴，所以（3）正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

8. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交、点，则下列说法不正确的是（　　）

A. 当时，  B. 当时，

C 当时，  D. 当时，

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解．

【详解】解：由图象得：关于的方程的解为，

当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D．

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．

9. 若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　）

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，先画出相应的图形，然后根据等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，即可得到等腰三角形底角的度数．

【详解】解：作于点D，如图：

∵，

∴，

∴；

作，交的延长线于点D，如图：

∵，

∴，

∴，

∴；

故选：C．

【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．

10. 如图，在矩形中，，，点为边上的动点，将沿折叠到，则在点的运动过程中，的最小值是（　　）

A.  B.  C.  D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】先判断出时，最小，最后用勾股定理即可得出结论．

【详解】解：如图，由折叠知，，，

当时，最小，

即，

∵，

∴，

∴点，，在同一条直线上时，最小，

由折叠知，，

在中，，，

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记折叠的性质是解题的关键．

二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填在答题卷相应的位置）

11. 分解因式：xy―x＝_____________．

【答案】x(y－1)

【解析】

【详解】试题解析：xy―x＝x(y－1)

12. 不等式的解集是 ________．

【答案】

【解析】

【分析】解不等式即可求解．

【详解】解：，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题关键.

13. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于D点、E点，已知，，则_____．

【答案】3

【解析】

【分析】由是线段的垂直平分线，得到，设，则，在中利用勾股定理求解即可．

【详解】连接，如图：

∵是线段的垂直平分线，

∴，

设，则，

∵，

∴，

∴，

解得，

∴，

∴．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．

14. 某商品每件进价100元，每件标价150元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打 _____折．

【答案】8

【解析】

【分析】设这种商品打折，利用利润售价进价，结合利润率不低于，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．

【详解】解：设这种商品打折，
根据题意得：，
解得：，
∴的最小值为8，
∴这种商品最多可以打8折．
故答案为：8．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

15. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ________．

【答案】

【解析】

【分析】写出直线在直线下方部分的的取值范围即可．

【详解】解：由图可知，不等式的解集为；

故答案为：．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．

16. 如图，在中，，，平分，且，的外角平分线交于点E，则的长是 ________．

【答案】

【解析】

【分析】根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，,推得，根据等角对等边可得，根据角平分线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，即可求得．

【详解】∵平分，

∴，

∵，

∴，,

∴，

∴，

∵是的角平分线，，

∴，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

17. 如图，将沿射线的方向平移得到，连接，已知，在平移过程中，若为等腰三角形，则平移的距离可以是 _____．

【答案】或或

【解析】

【分析】分如图1所示，当时，如图2所示，当时，如图3所示，当时，三种情况利用平移的性质讨论求解即可．

【详解】解：如图1所示，当时，

设，

由平移的性质可得，则，

在中，由勾股定理得，

∴，

解得，

∴，

∴平移距离为；

如图2所示，当时，

在中，由勾股定理得，

∴，

∴平移距离为；

如图3所示，当时，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴平移距离为8；

综上所述，平移距离为或或．

  【点睛】本题主要考查了平移的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

三、解答题一（本题共3小题，共22分）

18. 解不等式（组），并把（2）的解集在数轴上表示出来．

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）；见解析

【解析】

【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上即可．

【小问1详解】

解：，

，

，

，

【小问2详解】

解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：．
故不等式组解集为：，
在数轴上表示出来为：

【点睛】此题考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式（组）的解法是解本题的关键．

19. 学校准备用2000元购买名著和词典作为艺术节奖品，其中名著每套65元，词典每本40元，现已购买名著20套，问最多还能买词典多少本？

【答案】最多买17本．

【解析】

【分析】设还能买词典x本，根据名著的总价+词典的总价≤2000，列不等式，解出即可，并根据实际意义写出答案．

【详解】解：设还能买词典x本，

根据题意得：20×65+40x⩽2000，

40x⩽700，

x⩽17.5，

答：最多还能买词典17本．

【点睛】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键．

20. 如图，为等边三角形，点D为边上一点，先将三角板角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板角的两边分别与边、交于点E、点F，当时，如图（2）所示．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定即可证明．

【详解】证明：∵为等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴．

【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的基本模型：一线三等角是解题的关键．

四、解答题二（本题共3小题，共21分）

21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、．

（1）将先向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，并写出、、的坐标；

（2）若与关于原点O成中心对称，请写出、、的坐标，并在原直角坐标系中画出．

【答案】（1）见解析；，，   

（2）见解析；，，

【解析】

【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．

【小问1详解】

如图：即为所求，，，

【小问2详解】

∵与关于原点成中心对称，
∴，，

如图：即为所求

【点睛】本题考查作图——平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．

22. 学校开展篮球社团活动，需要购买若干个篮球，现从两家商场了解到同种篮球的标价均为100元/个，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：前20个篮球按原价收费，其余优惠20%；乙商场的优惠条件是：全部打九折．

（1）设学校需要购买x个篮球，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别写出、与x之间的关系式；

（2）若学校需要购买篮球数超过20个，选择到哪家商场购买，所需费用较少？

【答案】（1）；   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据甲，乙商场的收费标准列出函数关系式即可；

（2）选择哪家商场购买就是比较的大小，①当甲商场购买更优惠，可得，解此不等式，即可求得答案；②当乙商场购买更优惠，可得，解此不等式，即可求得答案；③当两家商场收费相同，可得，解此方程，即可求得答案．

【小问1详解】

根据题意得：
甲商场的收费为：
当时，；
当时，；
∴与之间的关系式为；

乙商场的收费为：；
∴与之间的关系式为；

【小问2详解】

①当时，即，
解得：
∴当时，甲商场购买更优惠；
②当时，即，
解得：，
∴当时，乙商场购买更优惠；
③当时，即，
解得：，
∴当时，两家商场收费相同．

【点睛】此题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．此题难度适中，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解．

23. 如图（1），点C、点D在直线上，点A、点B在直线上，且，连接、、、．

（1）请在图（1）中，找出三对面积相等的三角形：　                  　；

（2）利用（1）中的结论解决下面两个问题：

①将图（1）中的、进行以下操作：

第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、．

第二步，先将图（2）中的、的顶点C、D重合，再将绕点C旋转到如图（3）所示位置．

若直线与相交于点E，连接．求证：平分．

②如图（4），折线型小路P﹣M﹣Q，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路P﹣M﹣Q改为经过点P的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）．

【答案】（1）和；和；和   

（2）①见解析；②见解析

【解析】

【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可可得出答案；

（2）①过点分别作于，于，根据题意可知，的面积的面积，根据面积公式可得，即可得出结论；
②连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得．

【小问1详解】

解：∵，
∴、间的距离相等，
设、间的距离为，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：和；和；和．

【小问2详解】

①证明：过点分别作于，于，如图：

根据题意可知，的面积的面积，
∵的面积，的面积，
∴，
∴，
∵，，
∴平分；

②解：步骤：连接，过点做平行线交于点，则为所求的直路．
如图：

证明：∵，
∴，
∴，，
∴甲、乙的面积前后不发生改变．

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，四边形的面积，解题的关键是掌握两条平行线之间的距离相等，利用面积法求解．

五、解答题三（本题共2小题，共19分）

24. 如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．

（1）求证：；

（2）在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）；

（3）在（2）的条件下，求证：．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得；

（2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得；

（3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到．

【小问1详解】

∵，，，

∴，

在和中，

，

∴．

【小问2详解】

延长到G，使得，连接，如图：

∵F为的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

由（1）可知：，

∴，

∴，

∴．

【小问3详解】

∵，

∴，

∴，

由（1）可知：，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

25. 【问题背景】

在图（1）中，①～③的三个三角形，各自是由通过怎样的全等变换得到的？

【问题探究】

（1）我们发现：

Ⅰ：图（1）中，①号三角形能由通过一次轴对称得到，请在图（1）中画出对称轴．

Ⅱ：图（1）中，②号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为 　　单位．

Ⅲ：图（1）中，③号三角形能由通过先平移再旋转或先旋转再平移得到，请问：③号三角形能否由绕某个点，旋转一次得到？为解决这个问题，我们可以先解决两条相等的线段能否看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到．分析过程如下：

已知线段与线段相等，分两种情况讨论：

第一种情况：当与对应时，如图（2），分别作与的中垂线交于点，连接、、、．

∵在的中垂线上

∴

同理，

又∵

∴

∴

∴，即对应点与点形成的夹角相等

∴线段可以看成由线段绕点旋转一次得到

第二种情况：当与对应时，如图（3），同理可证．

综上所述：两条相等的线段可以看成：一条线段是另一条线段绕某个点旋转一次得到．

【问题解决】

（2）如图（4），已知（且满足△DEF不能由通过平移得到）．现在来解决能由绕某个点通过一次旋转得到的问题：

①通过尺规作图找到旋转中心；

②证明：能由绕点通过一次旋转得到．（提示：只要证明关键的对应点到点的距离相等和关键的对应点与点形成的夹角相等）

【答案】（1）Ⅰ：见解析；Ⅱ：8；（2）①见解析；②见解析

【解析】

【分析】（1）根据轴对称和平移以及旋转的性质解答即可；
（2）①根据题意分别作与的中垂线交于点即可；

②分别作与的中垂线交于点，连接、、、．根据中垂线的性质可得，，根据全等三角形的性质可得,,,根据全等三角形的判定和性质可得，，，，推得，即，，，，即可证明．

【详解】（1）Ⅰ：如图所示，直线是对称轴，

Ⅱ：②号三角形能由通过一次平移得到，则平移的距离为8单位，
故答案为：8．

（2）①图中点O即为所求的作的旋转中心．

作法：连接和，分别作与的中垂线交于点O．

②当与对应时，分别作与的中垂线交于点，连接、、、，如图：

∵点为的中垂线和的中垂线的交点，

∴，，

∵，

∴，，，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴．

综上所述：对应点与旋转中心形成的夹角相等，即，

对应点到旋转中心的距离相等，即，，．

∴线段可以看成由线段绕点旋转一次得到；

线段可以看成由线段绕点旋转一次得到；

线段可以看成由线段绕点旋转一次得到．

故能由绕点通过一次旋转得到．

【点睛】本题考查了画对称轴，平移的性质、旋转的性质，画垂直平分线，全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称和平移以及旋转的性质解答．