精品解析：广东省深圳市南山区前海学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

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广东省深圳市南山区前海学校 2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称与轴对称的定义逐项判断即可．
【详解】A是圆和矩形的结合，属于中心对称图形；
B是中心对称图形；
C属于中心对称图形；
D是轴对称图形，不属于中心对称图形；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称的判断，准确理解定义进行判断是解题的关键．
2. 若x＜y，则下列各式中不成立的是（　　）
A. x＋1＜y＋1 B. x－2＜y－2 C. 3x＜3y D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判定即可．
【详解】A、由x＜y，可得：x＋1＜y＋1，成立，不合题意；
B、由x＜y，可得：x－2＜y－2，成立，不合题意；
C、由x＜y，可得：3x＜3y，成立，不合题意；
D、由x＜y，可得：，不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　）
A. m2－2n2＝（m＋2n）（m－2n） B. （m＋1）（m－1）＝m2－1
C. m2－3m－4＝m（m－3）－4 D. m2－4m－5＝（m－5）（m＋1）
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】解：A．m2-2n2≠（m+2n）（m-2n），故本选项不合题意；
B．是多项式乘法，故本选项不合题意；
C．结果不是积的形式，因而不是因式分解，故本选项不合题意；
D．属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式．
4. 如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：∵点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，
∴，
解得：-3＜x＜4，
在数轴上表示为：，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AB的长是（　　）

A. 4 B. 4 C. 8 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出∠A＝30°，再由线段垂直平分线的性质得到∠A＝∠EBA＝30°，则∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，即可得到DE＝CE＝2，再利用含30度角的直接三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，ED⊥AB，
∴∠A＝∠EBA＝30°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，
又∵BC⊥AC，ED⊥AB，
∴DE＝CE＝2．
在直角三角形ADE中，DE＝2，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝4，
∴AD＝＝，
∴AB＝2AD＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（ ）

A. 30° B. 60° C. 90° D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
即旋转角度为60°．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，

7. 若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是（　　）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解不等式2x-1＞3，得：x＞2，
∵不等式组整数解共有三个，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
8. 已知不等式ax+b＞0解集是x＜-2，则函数y=ax+b的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴上方，然后对各选项分别进行判断．
【详解】解：∵不等式ax+b＞0的解集是x＜-2，
∴当x＜-2时，函数y=ax+b的函数值为正数，即直线y=ax+b的图象在x轴上方．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9. 有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（　　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
【答案】C
【解析】
【分析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设第一块试验田每亩的产量为x千克，可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
10. 如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与的距离为；②③．其中正确的结论是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可．
【详解】解：连结，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
所以正确；

为等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
≌，
，
在中，
，，，
，
，
为等边三角形，
，
，
所以正确；
≌，
，





，
所以正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 若一个多边形每个内角都为，则这个多边形是________边形．
【答案】十
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理：求解即可．
【详解】∵多边形的每个内角都是144°，则
解得，则这个多边形是十边形；
故答案为：十．
【点睛】主要考查了多边形的内角和定理，边形的内角和为：，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
12. 使分式有意义的x的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义
∴
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，即分母不为0．
13. 甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工 _____套校服．
【答案】
【解析】
【分析】利用分式方程中的工程问题，工作量除以工作效率等于工作时间，列出方程求解即可．
【详解】解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工套校服，
依题意得： ，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴乙厂每天加工套校服．
故答案为：．
【点睛】本题考查的分式方程的实际应用---工程问题，熟练掌握工程问题的数量关系式是解答此题的关键．
14. 对x，y定义一种新的运算F，规定：时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况求解即可．
【详解】解：①若，
由，得，
由，得：，与不符，舍去；
②若，
由得，
解得，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．
15. 直线y＝k1x+b与直线y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于X的不等式 k1x+b＞k2x+c的解集为_____．

【答案】x＞1
【解析】
【分析】根据图形，找出直线 k1x+b在直线k2x+c上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图形可知，当x＞1时，k1x+b＞k2x+c，
所以，不等式的解集是x＞1．
故答案为x＞1．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16. 解不等式（组），并将解集表示在数轴上．
（1）≥；
（2）．
【答案】（1）x≤8；图见解析；
（2）1＜x≤3.5；图见解析
【解析】
【分析】（1）先去分母，然后去括号、移项合并同类项，最后将未知数的系数化为1；
（2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找的原则，写出不等式组的解集即可．
小问1详解】
解：≥
去分母，得：3（2＋x）≥2（2x－1），
去括号，得：6＋3x≥4x－2，
移项，得：3x－4x≥－2－6，
合并同类项，得：－x≥－8，
系数化为1，得：x≤8，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【小问2详解】
解：解不等式2（x－1）－（1＋2x）≤1，得：x≤3.5，
解不等式＜2x－1，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤3.5，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题主要考查了解不等式和不等式组，解不等式时，不等式两边同除以一个负数时，不等号方向要发生改变．
17. 先因式分解，再计算求值：（x－2）2－6（2－x），其中x＝－2．
【答案】（x－2）（x＋4），-8
【解析】
【分析】提取公因式即可分解因式．再将代入求值即可．
【详解】解：



将代入得出：原式．
【点睛】本题考查分解因式和代数式求值．利用提公因式法分解因式是解题关键．
18. 如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)
（1）请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1；
（2）请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(2，0)
【解析】
【分析】（1）把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)
然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：
（2）连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；
（3）找出B的关于x轴对称点B′（4，﹣2），连接AB′，与x轴交点即为P；求AB′解析式为，当y=0时，点P坐标为（2，0）．
【详解】解：（1）∵ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，
把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)，
然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：

（2）如图2所示：连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；

（3）找出B的对称点B′（4，﹣2），
连接AB′，与x轴交点即为P；
设AB′解析式为代入点的坐标得，
，
解得，
∴AB′解析式为，
当y=0时，，
解得
点P坐标为（2，0）．
如图3所示：

【点睛】本题考查平移的性质，中心对称性质，轴对称性质，掌握平移的性质，中心对称性质，轴对称性质是解题关键．
19. 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．

（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BC＝BD，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出∥，从而得出，再证明，得出，从而证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出的长，从而得出的长，再用勾股定理先求出的长，再求出的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴∥，
∴，
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴，
∴四边形BDFC是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，
∴
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．
20. 某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元．
（1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元
（2）当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元
【解析】
【分析】（1）根据每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100-x）台，根据：总利润=冰箱每台利润×冰箱数量+空调每台利润×空调数量，列出函数解析式，结合x的范围和一次函数的性质可知最值情况．
【小问1详解】
设每台冰箱进价为x元，空调每台进价为为（x-400）元，根据题意得，

解得，x=2000
∴x-400=2000-400=1600（元）
答：每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元
【小问2详解】
设购进冰箱x台，由题意可得，
y＝（2100－2000）x＋（1750－1600）×（100－x）＝－50x＋15000，
∵购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，
∴100－x≤3x，解得，x≥25，
∵x为正整数，y＝－50x＋15000，－50<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝－50×25＋15000＝13750（元），100－x＝75，
答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出方程和函数解析式是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．

（1）求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
（2）若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）求OP＋PM的最小值．
【答案】（1）y＝－x＋，∠ABO＝30°
（2）所有满足条件的点P的坐标为（3＋，－）或（3－，）或（－，）
（3）OP＋PM的最小值为
【解析】
【分析】（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，设AB直线为，代入A、B两点坐标，即可求解；
（2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（3）作点M关于AB的对称点，设点的轨迹为，由对称可得，则，可得直线与x轴的夹角为，可得当时，OP＋PM的最小，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∴，
设AB直线为，将A、B两点代入可得：
，解得，即；
【小问2详解】
解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，

∵OB=3，，
∴OB=OP=3，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，

则OB=PB=3，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
同理可得点的坐标为；
综上，，，；
【小问3详解】
解：作点M关于AB的对称点，如图

设点的轨迹为，
由对称可得，，
则，即直线与x轴的夹角为，，
∴当时，OP＋PM的最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
22. （1）模型建立：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线y＝3x＋3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；
②如图2，在直线AC上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标；
③如图3，矩形ABCO，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，点P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x－6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）①y＝x＋3；②点Q（0，）或（0，）；③（4，2）或（，）或（，）
【解析】
【分析】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；
（2）①过C过C作CD⊥x轴于点D，可得△CDB≌△BAO，可求点C坐标，待定系数法求直线AC解析式即可；
②以B、C、P、Q四点构成的平行四边行有三种情况进行讨论即可；
③结合前两问的结论，最后一问分类讨论等腰直角三角形的直角顶点，根据等腰直角三角形性质列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）①如图1，

过点C作CD⊥x轴于点D，
在y＝3x＋3中，令y＝0可求得x＝－1，令x＝0可求得y＝3，
∴OA＝3，OB＝1，
同（1）可证得△CDB≌△BAO，
∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝3，
∴OD＝4，
∴C（－4，1），且A（0，3），
设直线AC解析式为y＝kx＋3，把C点坐标代入可得－4k＋3＝1，解得k＝，
∴直线AC解析式为y＝x＋3；
②以B、C、P、Q四点构成的平行四边行有三种情况：
由题意可知点B坐标为 点C坐标为，
设点P坐标为，点Q坐标为，
情况一：当四边形BPCQ为平行四边形时，
由 ,得: ，
即
点P坐标为
由得，得 ，即
点Q坐标为
情况二：当四边形BCPQ为平行四边形时，
由 ,得: ，
即
点P坐标为
由，得 ，即
点Q坐标为
情况三：当四边形BCQP为平行四边形时，
由 ,得: ，
即
点P坐标为
由得，得 ，即
点Q坐标为
综上，点Q坐标为（0，）或（0，）；
③如图2，

当∠ADP＝90°时，AD＝PD，
过点P作PE⊥OA于E，过点D作DF⊥PE于F，
∴点E与点A重合，
∴DF＝AB＝4
设D点坐标为（x，2x－6），
则6－（2x－6）＝4，得x＝4，
易得D点坐标（4，2）；
如图3，

当∠APD＝90°时，AP＝PD，
过点P作PE⊥OA于E，过点D作DF⊥PE于F，
设点P的坐标为（8，m），易证，△APE≌△PDF，
∴PF＝AE＝6－m，DF＝PE＝8，
∴D点坐标为（14－m，m＋8），
∴m＋8＝2（14－m）－6，得m＝，
∴D点坐标（，）；
如图4，

当∠ADP＝90°时，AD＝PD时，同理得D点坐标（，），
综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．
【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、平行四边形的判定和性质以及分类讨论及数形结合的思想．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．