北师大版八年级上册数学第五章二元一次方程组（A卷）含解析答案

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第五章 二元一次方程组（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．下列式子中，是二元一次方程组的是（　   　）．
A． B． C． D．
2．下列方程中，①；②；③；④，是二元一次方程的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若方程是关于、的二元一次方程，则的值为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（    ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．二元一次方程2x＋3y＝15的非负整数解有（    ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（　　）
A．34 B．35 C．36 D．37
7．已知是二元一次方程的一组解，则的值是（    ）
A． B． C． D．
8．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．下列四组数值中，是二元一次方程2x+y=10的解的是（    ）
A． B． C． D．
10．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中①；②；③3x+（100-x）=100；④y+3（100-y）=100正确的有（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（    ）
A． B．
C． D．
12．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
13．甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（    ）．
A． B．
C． D．
14．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组 的解为（　　）

A． B． C． D．
15．如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（    ）

A． B． C． D．
16．已知关于x，y的方程组的解是，则直线与的交点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

评卷人
得分



二、解答题
17．解方程组：
（1）
（2）
18．解方程组。
（1）；    （2）．
19．解方程组
(1)
(2)．
20．已知方程组与方程组的解相等，试求、的值．
21．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，回答下列问题：
（1）可得到下列哪一个方程组？
A．            B．
C．        D．
（2）解所确定的方程组，求这两个两位数．
22．有一场足球比赛，共有九支球队参加，采取单循环赛，其记分和奖励方案如下表：
标准
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖励（元／人）
2000
800
0
甲队参加完了全部8场比赛，共得积分16分．
（1）求甲队胜负的所有可能情况；
（2）若每一场比赛，每一个参赛队员均可得出场费500元，求甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入（奖金加上出场费）．
23．北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有台，上海有台．
（1）已知武汉需要台，温州需要台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如下表所示，有关部门计划用元运送这些仪器．请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用．
（2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过台，则如何调配？
终点
起点
温州
武汉
北京


上海



24．旅游团一行60人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了30间客房，问三种客房各住几间，共几种安排方案？怎样安排住宿消费最低，最低消费是多少？
25．木工师傅要用40张木工板做长方体包装箱，准备先把这些木工板分成两部分，一部分做侧面，一部分做底面．已知：
一：1张木工板，恰好做3个底面，或者做2个侧面（1大1小）；
二：2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱．
根据以上材料解决下列问题：
(1)工人师傅分别需用多少张木工板做侧面和底面，才能使做成的侧面和底面正好配套？
(2)如果需要做这个包装箱20个，那么至少还需要同样的木工板多少张？（直接写出结果）
26．已知直线和直线，
(1)当 时，与相交于一点，这个点的坐标是 ；
(2)当 时，，此时方程组的解的情况是 ；
(3)当 时，与重合，此时方程组的解的情况是 ．

评卷人
得分



三、填空题
27．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 ．
28．如图，在长方形中放入6个相同的小长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长为，宽为，则可得方程组 ．

29．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为棵，棵，则可列方程组 ．
30．若方程组无解，则图象不经过第 象限．

参考答案：
1．C
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、只有一个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元二次方程组， 不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
D．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，能熟记二元一次方程组的定义的内容是解此题的关键．
2．A
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，即可判断出答案．
【详解】解：①根据二元一次方程定义可知是二元一次方程，此项正确；
②化简后为，不符合定义，此项错误；
③含有三个未知数不符合定义，此项错误；
④不符合定义，此项错误；
所以只有①是二元一次方程，
故选：A．
【点睛】本题考二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
3．A
【分析】根据二元一次方程的定义列出，的方程求解．
【详解】解：方程是关于、的二元一次方程．
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，根据定义，列出关于m,n的方程组是求解本题的关键．
4．B
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程2x＋3y＝11，
解得：y＝，
当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，
则方程的正整数解有2组，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y．
5．B
【分析】要求二元一次方程2x＋3y＝15的非负整数解，可先从y＝0开始，分别把y＝0，1，2，3，4，5代入方程，求出对应的x的值，然后进行判断．
【详解】解：当y＝0，x＝7.5，
当y＝1，x＝6，
当y＝2，x＝4.5，
当y＝3，x＝3，
当y＝4，x＝1.5，
当y＝5，x＝0，
∴二元一次方程2x＋3y＝15的非负整数解有3个，分别为：y＝1，x＝6；y＝3，x＝3；y＝5，x＝0．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解本题的关键在正确求出二元一次方程2x＋3y＝15的非负整数解．
6．C
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有8组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【详解】令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组，
∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36，
故选C．
【点睛】本题考查了不定方程的正整数解，规律题，将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再根据题中给出的规律求解是解题的关键.
7．B
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于的方程，再解方程，可得答案．
【详解】解：由题意，
得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
8．A
【分析】将代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值．
【详解】解：将代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得：
2×3k-（-3k）=27．
∴k=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．
9．A
【分析】二元一次方程2x+y=10的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A、当x=6，y=-2时，2x+y=2×6+（-2）=10，故此选项符合题意；
B、当x=-2，y=6时，2x+y=2×（-2）+6=2≠10，故此选项不符合题意；
C、当x=3，y=-4时，2x+y=2×3+（-4）=2≠10，故此选项不符合题意；
D、当x=-4，y=3时，2x+y=2×（-4）+3=-5≠10，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解的概念是解题关键．
10．D
【分析】若大和尚有x人，小和尚有y人，根据列出二元一次方程组或一元一次方程即可判断.
【详解】设大和尚有x人，小和尚有y人，100个和尚分100个馒头
∵大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头，
∴可得和3x+（100-x）=100和y+3（100-y）=100；
故②③④正确,共计3个
故选D
【点睛】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解答此题的关键是，根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程解答即可．
11．A
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙所有钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组可得．
【详解】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意得
，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
12．B
【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入为元去年的支出元结余5000元；②今年的收入今年的支出今年可节余9500元，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设去年的收入为元，支出为元，根据题意可得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．
13．C
【分析】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，根据题意找到等量关系即可列出方程组.
【详解】设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，
根据题意可列方程为
故选C.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.
14．C
【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．
【详解】解：根据函数图可知，
直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
把x＝1代入y＝﹣x+3，可得y＝2，
故关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
15．A
【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组，直接求解即可．
【详解】解：根据题意，可得方程组，
根据函数图像与方程组解的关系可知，函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系：函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解是解题的关键．
16．B
【分析】将代入，求出，即为直线与的交点坐标，判断所在象限即可．
【详解】解：将代入可得，
，
方程组的解是，
直线与的交点坐标为，在第二象限．
故选B．
【点睛】本题考查两直线的交点与二元一次方程的解，将两条直线的函数解析式联立组成二元一次方程组，根据方程组的解写出两直线的交点坐标是解题关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）用代入消元法求解即可；
（2）整理后用加减消元法求解即可；
【详解】（1），
把①代入②，得
3x+2x=10，
∴x=2，
把x=2代入①，得
y=4，
∴；
（2）∵，
∴ ，
①-②，得
6y=18，
∴y=3，
把y=3代入①，得
3x+12=36，
∴x=8，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
18．（1）；（2）．
【分析】（1）先观察含有x的项与y的项的系数，故①×8-②×3，得y=-1，进而求得x=8．
（2）先观察含有x的项与y的项的系数，故①×4-②，得y=1，进而求得x=3．
【详解】解：（1）①×8，得24x+40y=152，
②×3，得24x-9y=201，
∴①×8-②×3，得49y=-49，
∴y=-1，
把y=-1代入①，得3x-5=19，
∴x=8，
∴这个方程组的解是；
（2）①×4，得2（x-3）-12（y-1）=0③，
③-②，得-10（y-1）=0，
∴y=1，
把y=1代入②，得2（x-3）=0，
∴x=3，
∴这个方程组的解是．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握消元法解方程组的步骤是解题关键．消元法有：加减消元法和代入消元法．
19．(1)
(2)

【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1），
①②得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
②①得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．
【分析】两个方程组的解相同，也就是有一组、的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．
【详解】解：由已知可得，解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得．
故、的值为．
【点睛】本题考查了同解方程组，解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义．
21．（1）C；（2）39和29
【分析】（1）首先设较大的两位数为，较小的两位数为，根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大990，根据等量关系列出方程组；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）解：设较大的两位数为，较小的两位数为，
根据题意，得
故选：C；
（2）化简
得，
①＋②，得，即．
①－②，得，即．
所以这两个数分别是39和29．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和解二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为．
22．（1）设甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”；（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为15200元；若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为14800元．
【分析】（1）设甲队胜场、平场、负场，依题意得方程组，讨论求出整数解即可；
（2）由（1）可得由两种情况，根据奖励规则可分别求出总收入.
【详解】（1）设甲队胜场、平场、负场，以题意得方程组

解得，得整数解或
即甲队胜负的所有可能情况有：“4胜4平”或者“5胜1平2负”.
（2）若是4胜4平，甲队参加了所有8场比赛的队员的个人总收入为：
2000×4+800×4+500×8=15200（元）
若是5胜1平2负，甲队参加了所有8场比赛的队员的总收入为：
2000×5+800+500×8=14800（元）．
答：若是4胜4平，总收入为15200元；若是5胜1平2负，总收入为14800元.
【点睛】考核知识点：三元一次方程应用.根据已知条件找出等量关系，列出方程组是关键.
23．（1）从北京运往温州4台，运往武汉6台，从上海运往温州2台，运往武汉2台；（2）从上海配送4台到温州，从北京配送1台到温州，武汉9台
【分析】（1）设北京运往温州x台，则上海运往温州y台，由题意得等量关系列出方程组，解方程组即可．
（2）结合表格的数据，即可得到运送资金最低的方案．
【详解】解：（1）解：设从北京运往温州x台，从上海运往温州y台．
依题意，得
解得
从北京运往武汉：10-x=10-4=6（台）；
从上海运往武汉：4-y=4-2=2（台）；
答：从北京运往温州4台，运往武汉6台；从上海运往温州2台，运往武汉2台．
（2）由表格中的数据可得出，上海运送到温州的费用最低，其次是北京运送到温州的费用，且分配到温州的仪器不能超过5台，
∴为了节约资金，从上海配送4台到温州，从北京配送1台到温州，武汉9台．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，得到北京和上海运往各地的机器台数的代数式是解决本题的突破点，得到总运费的等量关系是解决本题的关键．
24．共16种安排方案，安排住三人间15间、单人间15间时消费最低，最低消费是1650元
【分析】设安排住三人间间，二人间间，则住单人间间，根据该旅游团共60人，即可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，结合，均为正整数，即可得出方案的个数，设住宿费用为元，利用总费用每人的费用居住人数房间数，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：设安排住三人间间，二人间间，则住单人间间，
依题意得：，
．
，均为非负整数，
∴30-2x≥0，
∴x≤15，
为非负整数），
共16种安排方案．
设住宿费用为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，（元）．
答：共16种安排方案，安排住三人间15间、单人间15间时消费最低，最低消费是1650元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
25．(1)用30张木工板做侧面，10张木工板做底面
(2)至少需要14张木工板


【分析】（1）设工人师傅用张木工板做侧面，张木工板做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，根据2个底面和4个侧面（2大2小）可以做成一个包装箱，列出方程组，即可解答；
（2）由（1）知，工人师傅用30张木工板做侧面，10张木工板做底面，可以做成个包装箱，还差5个包装箱，所以一个包装箱需要张木工板做底，张做侧面，所以还需张，所以至少14张木工板．
【详解】（1）解：设工人师傅用张木工板做侧面，张木工板做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套，
根据题意得：，
解得：．
答：工人师傅用30张木工板做侧面，10张木工板做底面，才能使做成的侧面和底面正好配套．
（2）解：由（1）知，工人师傅用30张木工板做侧面，10张木工板做底面，可以做成个包装箱，还差5个包装箱，
∴一个包装箱需要张木工板做底，张做侧面
∴还需张，
∴至少需要14张木工板，
答：至少需要14张木工板．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在根据题意，正确找出等量关系，列出方程组．
26．(1)；，
(2)，；无解
(3)，；方程有无数个解

【分析】（1）若两条直线有交点，那么它们的倾斜程度是不相等的，故可得，令值相等即可求出的值，从而也可以求出的值；
（2）若两条直线平行，那么它们的倾斜程度必然是相等的，且，此时这两条直线是没有交点的，相信你能得出方程组解的个数；
（3）若两条直线是重合的，则它们的倾斜程度相等，且，此时这两条直线有无数个交点，方程组解的个数也就明确了．
【详解】（1）解：当时，两直线相交得：
．
移项、合并同类项得：
，
两边同时除以得：
，
将代入直线中，
解得：，
故与的交点坐标是，；
故答案为：、，；
（2）解：当且时，，此时这两条直线没有交点，即方程组无解；
故答案为：，；无解；
（3）解：当且时，这两条直线是重合的，故方程组有无数个解．
故答案为：，；方程有无数个解．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
27．
【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案．
【详解】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理设未知数，理解题意列出方程．
28．
【分析】设小矩形的长为a，宽为b，根据矩形的性质列出方程组即可．
【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，则可得方程组为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
29．
【分析】根据题意可直接进行列方程组求解．
【详解】解：由题意得：
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
30．二
【分析】根据方程组无解可得k=1，根据一次函数的性质即可判断y=kx-2图象不经过的象限．
【详解】解：方程组，
∴2kx-3=（3k-1）x+2，
∴（k-1）x=-5，
∵方程组无解，
∴k-1=0，
∴k=1，
∴y=kx-2即y=x-2图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质和解二元一次方程组是解题的关键．