精品解析：广东省深圳市龙岗区平湖外国语学校2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

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平湖外国语学校2021-2022学年第二学期八年级期末考试数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列由左到右的变形中属于因式分解的是（　　）
A. 24x2y＝3x·8xy B. x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C. m2－2m－3＝m(m－2)－3 D. (x＋3)(x－3)＝x2－9
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．左边不是多项式，从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．
3. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（　　）

A. 5 B. 8 C. 10 D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4. 如图∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点，CP//OB, 交OA于点C, ,垂足为点D，且PC=4，则PD的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】如图，作PE⊥OA于E， 由平行线的性质可得∠ECP=∠AOB=30°，继而可求得PE的长，继而由角平行线的性质即可求得PD的长.
【详解】作PE⊥OA于E，如图，

∵CP∥OB，
∴∠ECP=∠AOB=30°，
在Rt△EPC中，PE=PC=×4=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD=PE=2，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，正确添加辅助线，熟练掌握相关性质是解题的关键.
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，即可得出选项．
【详解】解：
由2x－4＜0，得：x＜2，
由3－x≤4，得：x≥－1，
则不等式组的解集为－1≤x＜2，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，能正确在数轴上表示不等式组的解集是解此题的关键．
6. 如图，△ABC是等边三角形，，若，则∠2的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE=180°，又∠1=40°，
∴40°+60°+60°+∠2=180°，
∴∠2=20°，
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质是解答的关键．
7. 下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（　　）
A. 一组对边平行且相等四边形
B. 两组对角分别相等的四边形
C. 一组对边平行，且一组对角相等的四边形
D. 一组对边相等，且另一组对边平行的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析解题．
【详解】解：A，∵一组对边平行且相等四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B，∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C，∵一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D，∵一组对边相等，且另一组对边平行不一定是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交的延长线于点，则的长度为（ ）

A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本作图得到∠ABE=∠CBF，再根据平行四边形的性质得AB=CD=6，AB∥CF，接着证明∠F=∠CBF得到CF=CB=9，然后计算CF-CD即可．
【详解】由作图可知，平分，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质．
9. 为了改善生态环境，某社区计划在荒坡上种植600棵树，由于学生志愿者的加入，每日比原计划多种20%，结果提前1天完成任务．设原计划每天种树x棵，可列方程（    ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原计划每天种树x棵，列出实际和原计划完成的天数，根据提前1天完成任务列出方程即可．
【详解】解：设原计划每天种树x棵，
根据题意得： ，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找准等量关系列出方程．
10. 如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=.其中正确结论的序号是

A. ①③④ B. ①②③
C. ②③④ D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP,然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等,从而判定①正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F,先求出∠BEF=45°,从而判断出△BEF是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为 ,判断出②错；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=APD=135°,然后求出∠BEP=90°,判定③正确；根据等腰直角三角形的性质求出PE,再利用勾股定理列式求出BE的长,然后根据S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE列式计算即可判断出④正确;
【详解】在正方形ABCD中,AB=AD,
∵AP⊥AE,
∴∠BAE+∠BAP=90°
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°
∴∠BAE=∠DAP
在△APD和△AEB中

∴△APD≌△AEB(SAS),故①正确;

∵AE=AP,AP⊥AE,
∴△AEP是等腰直角三角形,
∴∠AEP=∠APE=45°
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°
∴∠BEP=135°-45°=90°
∴EB⊥ED,故③正确
∵AE=AP=1
∴PE=AE=，
∵PB=,
∴BE==2,
∴BF=，故②错误
在Rt△PBE中,BE=
∴S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE
= =故④正确
故选A
【点睛】此题考查四边形综合题，解题关键在于利用三角形全等的性质
二．填空题（每题3分，共15分）
11. 分解因式：ax2-4ax+4a= ____．
【答案】a（x-2）2
【解析】
【详解】解：ax2-4ax+4a
=a（x2-4x+4）
=a（x-2）2
故答案为：
12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
13. 如果一个多边形的每一个内角都是144°，那么这个多边形是____________边形．
【答案】十
【解析】
【分析】试题分析∶根据平角的定义，先求出每一个外角的度数，多边形的边数等于360°除以外角的度数，列式计算即可．
【详解】解：∵多边形每个内角都144°，
∴多边形每个外角都为180°﹣144°=36°，
∴边数=360°÷36°=10．
故答案为：十．
【点睛】本题考查了正多边形外角和，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
14. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)，则关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为_____．

【答案】x＞1
【解析】
【分析】结合函数图象，写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，2），
∴当x＞1时，x＋1＞mx＋n，
即关于x的不等式x＋1＞mx＋n的解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________．

【答案】1
【解析】
【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，
根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2，
∴．
又∵BD=3，
∴DC＝BC−BD＝．
过点D作DM⊥AC于点M，

由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE，
∴∠DAC+∠EAF=90°．
又∵∠DAC+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠EAF．
在Rt△ADM和Rt△EAF中，．
∴（AAS），
∴AF=DM．
在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，
DM2+MC2=DC2，
∴DM=1，
∴AF=DM=1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键．
三．解答题（共55分）
16 解方程：．
【答案】x＝2．
【解析】
【分析】用分式的性质两边乘以再根据整式方程的步骤解出，最后检验得出结论．
【详解】解：去分母得：
移项合并得：
经检验: 时，
是分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程要检验，熟练掌出握分式方程的解法步骤是解此题的关键，
17. 先化简，再求值：（＋）÷，其中m＝9
【答案】化简的结果：，代数式的值：．
【解析】
【分析】先把括号内的分式化为同分母分式，计算加减法，同时把除法运算转化为乘法运算，约分后可得化简的结果，把代入化简后的代数式进行计算即可得到答案．
【详解】解：


当时，
上式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算顺序及法则是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．

（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），此时四边形BCB2C2的形状是________；
（3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是________．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，平行四边形
（3）（2，－1）或（0，3）或（6，5）
【解析】
【分析】（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，并连线作图即可；
（2）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，并连线作图即可；
（3）有三种情形，画出平行四边形，并根据平移坐标的变化求解即可．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2，即为所求．

将△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到的△A2B2C2，
，
四边形BCB2C2是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【小问3详解】
解：如下图：

①当BC为对角线时，，
平移到是向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
经过平移，可得；
②当AB为对角线时，，
平移到是向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，
经过平移，可得；
③当AC为对角线时，，
平移到是向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
经过平移，可得；
综上，D的坐标是（2，－1）或（0，3）或（6，5）．
故答案为：（2，－1）或（0，3）或（6，5）．
【点睛】本题考查作图一旋转变换，平移变换，平移坐标的变化，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
19. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC=4，则，再由勾股定理求出进而解答即可．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
【小问2详解】
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝，
∴，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，
∴BD＝2OB＝2．
【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
20. 探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．

【答案】（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35
【解析】
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而

归纳可得：
对于边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
当时，
十边形有对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
21. 汽车销售公司经销某国产品牌A款电动汽车，随着新能源电动汽车的快速普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）按照（2）中两种汽车进价不变，A款汽车仍按今年的售价，B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，分别求a值及相同的利润．
【答案】（1）9万元 （2）5种
（3）0.5，22.5万元
【解析】
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．
（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．
（3）购进A款汽车x辆，用含x的式子表示出方案，方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可．
【小问1详解】
设今年5月份A款汽车每辆售价m万元，
根据题意，得：＝，解得：m＝9．
经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
【小问2详解】
设购进A款汽车x辆．根据题意，得：
99≤7.5x＋6（15－x）≤105．解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆．
方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆．
方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆．
方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆．
方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆；
【小问3详解】
设总获利W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得：
W＝（9－7.5）x＋（8－6－a）（15－x）＝（a－0.5）x＋30－15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．
即，万元
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E．

（1）求证：；
（2）请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
（3）若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质可得，，根据等角的余角相等可得，，根据即可证明；
（2）设直线的解析式为，待定系数法即可求得解析式，设，即可得的坐标，代入解析式即可求得，进而求得的坐标；

（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为，分CD为边及CD为对角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，根据中点坐标公式，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点P的坐标．
【小问1详解】
证明：由旋转得，.
又∵，
∴.
∴
在与中
∵
∴
【小问2详解】
与x轴、y轴相交于A、B两点，
令，得，则，
令，得，则
，
，
设，
，
，
点在直线上，将代入，
即，
解得，
，
,
设直线的解析式为
将点,代入得：

解得
直线的解析式为
【小问3详解】
设点P的坐标为（m ，0），点Q的坐标为，分两种情况考虑：
①若CD为边时，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
②若CD为对角线，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴，解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，或.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握利用全等三角形的判定定理AAS；利用一次函数图象上点的坐标特征；利用平行四边形的对角线互相平分的性质．