5.1《任意角和弧度制》同步作业人教A版（2019）高中数学必修第一册

这是一份5.1《任意角和弧度制》同步作业人教A版（2019）高中数学必修第一册，共19页。
5.1任意角和弧度制一．选择题（共5小题）1．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工．就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了．著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为每扇形的半径设为，满足，，，，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是　　A． B． C． D．2．圆的半径为1，为圆周上一点，现将如图的放置的边长为1的正方形（正方形的顶点和点重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路程为　　A． B． C． D．3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出（图中有，跨接了6个坐位的宽度，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是　　A． B． C．295  D．4．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则　　A． B． C． D．5．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间　　A． B． C． D．二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，．设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时　　．7．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在上，在上，，设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，　　．8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长约为 　　（精确到1米）．9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的体积为　　．三．解答题（共3小题）10．某校有一块圆心，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径，的中点分别为，，为弧上的一点，设，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．（1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？（2）方案二：将弧和线段，围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？11．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点，在上，点在弧上，设．（1）若矩形是正方形，求的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．12．如图，在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点，记，且．（1）若，求；（2）若，求的值；（3）求面积的最大值．
5.1任意角和弧度制参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工．就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了．著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为每扇形的半径设为，满足，，，，若将的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的对应正方形格子的面积之和为，则下列结论错误的是　　A． B． C． D．【分析】根据定义求数列和，利用即可化简判断选项，利用特殊值否定结论即可判断．【解答】解：对于，由题意可得，故正确；对于，，故正确；对于，，故正确；对于，因为，故错误．故选：．【点评】本题主要考查了数学文化，考查了数列的递推公式的应用，考查了综合分析和问题求解能力，属于难题．2．圆的半径为1，为圆周上一点，现将如图的放置的边长为1的正方形（正方形的顶点和点重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路程为　　A． B． C． D．【分析】由图可知：圆的半径，正方形的边长，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了3圈共12次，分别算出转4次的长度，即可得出．【解答】解：由图可知：圆的半径，正方形的边长，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点首次回到点的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第次滚动，点的路程为，则，，，，点所走过的路径的长度为．故选：．【点评】本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．3．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出（图中有，跨接了6个坐位的宽度，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是　　A． B． C．295  D．【分析】为弯管，为6个坐位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解．【解答】解：如图所示，为弯管，为6个坐位的宽度，则，，设弧所在的圆的半径为，则，解得，可得，可得，可得．比较各个选项，可得是最接近的．故选：．【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练弧长公式的应用是解题的关键，考查了数形结合思想和分析问题的能力，属于中档题．4．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则　　A． B． C． D．【分析】由弧田面积求出矢，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，列出方程组求出，，从而得到，可求，进而可得．【解答】解：如图，由题意可得：，弧田面积（弦矢矢矢矢．解得矢，或矢，（舍，设半径为，圆心到弧田弦的距离为，则，解得，，，可得，．故选：．【点评】本题考查角的余弦值的求法，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、弧田面积计算公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．5．意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间　　A． B． C． D．【分析】取，设．可得，根据，利用倍角公式即可得出结论．【解答】解：取，设．则．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．，．．故选：．【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，．设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时　　．【分析】要求阴影部分面积最大，即求空白部分最小，利用角结合三角函数，可以分别表示出小扇形和三角形的面积．表示出来后，可以发现是一个正切函数与一次函数的和函数，为求最小值，只需求导数后寻其极值点即可．【解答】解：因为，所以，，依题意得当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，令令，故时，取得最小值，此时．故答案为：【点评】本题考查了利用三角函数表示实际问题的面积，然后用导数求最值点（极值点）的问题．考查了学生利用函数思想、转化与化归思想解决问题的能力．属于填空题中的难题．7．如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在上，在上，，设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，　　．【分析】当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小；先列出空白区域面积，再求导得时，平面区域（阴影部分）的面积取到最大值．【解答】解：因为，所以，，依题意得当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时，空白区域的面积和最小，设，，当，即时，平面区域（阴影部分）的面积取到最大值．故答案为：【点评】本题考查了扇形面积公式，属难题．8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长约为 　445米　（精确到1米）．【分析】法一：连接，由知，可由余弦定理得到的长度．法二：连接，作，交于，由余弦定理可求，，在直角中，利用三角函数的定义可求的值．【解答】解：法一：设该扇形的半径为米，连接．由题意，得（米，（米，在中，即，解得（米答：该扇形的半径的长约为445米．法二：连接，作，交于，由题意，得（米，（米，在中，．（米．．在直角中，（米，，（米．答：该扇形的半径的长约为445米．故答案为：445米．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．9．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的体积为　　．【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，列出关系式，即可求出，，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意知，且，解得，，圆锥高，此圆锥的体积．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．三．解答题（共3小题）10．某校有一块圆心，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地，半径，的中点分别为，，为弧上的一点，设，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．（1）方案一：将四边形绿地建成观赏鱼池，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？（2）方案二：将弧和线段，围成区域建成活动场地，其面积记为，试将表示为关于的函数关系式；并求为何值时，取得最大？【分析】（1）由题意可得，，，，运用三角形的面积公式和三角函数的恒等变换，结合正弦函数的值域，即可得到所求；（2）由已知，，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，再由导数，判断单调性，可得最大值．【解答】解：（1）由已知，，，；故，整理得（平方米），当时，（平方米）．（2）由已知，，，即；，故；在上为增函数，当时，（平方米）．【点评】本题考查函数的单调性、导数、函数最值的求法；考查函数思想、分类讨论思想；考查阅读理解能力、数学建模能力，运算能力．11．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点，在上，点在弧上，设．（1）若矩形是正方形，求的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向，修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．【分析】（1）由已知可得，，，可求，解得的值，由，可求，即可解得的值．（2）由于，利用三角函数恒等变换的应用可求，．利用正弦函数的图象和性质可求时，最大，此时是的中点．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在中，，，在中，，（2分），所以，（4分）因为矩形是正方形，，所以，（6分）所以，所以．     （8分）（2）因为，所以，     （10分），．     （12分）所以，即时，最大，此时是的中点．   （14分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．12．如图，在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点，与轴交于点，记，且．（1）若，求；（2）若，求的值；（3）求面积的最大值．【分析】（1）同角三角的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．（2）求出，的坐标以及的表达式，利用辅助角公式将式子进行化简可得，结合范围，可求的值．（3）求三角形的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：（1）因为：，且，所以：；所以：（2）由题意得，，．可得：，因为：，所以：，因为：，，，以：，可得：．（3）由三角函数定义，得：，从而，所以：，因为：，所以：当时等号成立，所以：的面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，平面向量数量积的坐标运算，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．