数学必修 第一册5.2 三角函数的概念习题

这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念习题，共16页。试卷主要包含了已知长方形的四个顶点，设的三边，，所对的角分别为，，等内容，欢迎下载使用。
5.2三角函数的概念一．选择题（共5小题）1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是　　A． B． C． D．2．如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，，当时四边形的面积取得最大，则的值为　　A． B． C． D．3．已知角的终边与单位圆相交于点，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，所得射线与单位圆相交于点，则点的横坐标为　　A． B． C． D．4．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作轴，垂足为，直线与的图象交于点，则线段的长为　　A． B． C． D．      5．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，，若，则的值为　　A． B． C． D．二．填空题（共4小题）6．如图，正方形中，，分别为，的中点，设，则　　．7．设的三边，，所对的角分别为，，．若，则　　，的最大值是　　．8．如图，单位圆的圆心初始位置在点，圆上一点的初始位置在原点，圆沿轴正方向滚动．当点第一次滚动到最高点时，点的坐标为　　；当圆心位于点时，点的坐标为　　．9．“无字证明” 就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：　　．三．解答题（共4小题）10．是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．        11．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点、在单位圆上，且，，．（1）求的值；（2）设，，四边形的面积为，，求的最值及此时的值．        12．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点．（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；（2）已知点，，，求     13．已知（1）求的值；（2）若圆的圆心在轴上，圆心到直线的距离为且直线被圆所截弦长为，求圆的方程．
5.2三角函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知长方形的四个顶点：，，，．一质点从点出发，沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、、（入射角等于反射角）．设的坐标为，，若，则的范围是　　A． B． C． D．【分析】本题可以画出图形，由，利用对称性得到角的关系，然后利用三角函数来解答，可以设，得到这些角的三角函数值关于的关系式，再由的坐标为，以及，可解得的取值范围．【解答】解：设，，则，、、均为，，又，．而，．又，．依题设，即，，即有，则，故选：．【点评】本题考查三角函数的概念以及利用三角函数解答相关问题的能力，轴对称图形的应用，对解不等式及不等式思想的考查等内容，属于中档题．2．如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，，当时四边形的面积取得最大，则的值为　　A． B． C． D．【分析】先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．【解答】解：在直角中，，，又在直角中：，又，，，当时，最大．即．即，，，，．故选：．【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．3．已知角的终边与单位圆相交于点，现将角的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，所得射线与单位圆相交于点，则点的横坐标为　　A． B． C． D．【分析】根据三角函数的定义，得到将的终边绕着点顺时针旋转对应的直线的角的大小，利用两角和差的余弦公式进行求解即可【解答】解：角的终边与单位圆相交于点，，，将的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转，此时角为，则点的横坐标为；故选：．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．4．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作轴，垂足为，直线与的图象交于点，则线段的长为　　A． B． C． D．【分析】由条件求得，可得线段 的值．【解答】解：由，，可得，即，即，求得，故线段，故选：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数的图象特征，属于中档题．5．如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，，若，则的值为　　A． B． C． D．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得、的值，可得和的值，从而求得所给式子的值．【解答】解：，点的坐标为，，故，为等边三角形，，又，，，，．，．，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．二．填空题（共4小题）6．如图，正方形中，，分别为，的中点，设，则　　．【分析】根据直角三角形中的边角关系可得 和，可求出，进而求得的值，利用同角三角函数的基本关系求出 的值．【解答】解：设正方形的边长等于1，根据直角三角形中的边角关系可得，，，，故，故答案为．【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，求出，是解题的关键，属于中档题．7．设的三边，，所对的角分别为，，．若，则　　，的最大值是　　．【分析】由已知可得，利用同角三角函数基本关系式，余弦定理可求的值，利用两角和的正切函数公式，基本不等式即可求解的最大值．【解答】解：设的三边，，所对的角分别为，，．，可得为钝角，，则．，．，可得，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，可得的最大值是，故答案为：，．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．如图，单位圆的圆心初始位置在点，圆上一点的初始位置在原点，圆沿轴正方向滚动．当点第一次滚动到最高点时，点的坐标为　　；当圆心位于点时，点的坐标为　　．【分析】当点第一次滚动到最高点时，点向右滚动了圆的半个周长，因此点的坐标为；当圆心位于时，，此时圆心角为3，点的横坐标为，纵坐标为，【解答】解：作辅助线如图，当点第一次滚动到最高点时，点向右滚动了圆的半个周长，因此点的坐标为；当圆心位于时，，此时圆心角为3，点的横坐标为，纵坐标为，故答案为：，．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．9．“无字证明” 就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：　，　．【分析】令，，，然后分别在四个直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据和可得结果．【解答】解：令，，，在直角三角形中，，，则，，在直角三角形中，，，则，，在直角三角形中，，，则，，，，在直角三角形中，，故．，故．故答案为：，．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．三．解答题（共4小题）10．是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．【分析】首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的、．【解答】解　存在，使等式同时成立．理由如下：由条件得，两式平方相加得，，即．，，或．将代入②得．又，，代入①可知，符合．将代入②得，代入①可知，不符合．综上可知，．【点评】本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．11．如图，以坐标原点为圆心的单位圆与轴正半轴相交于点，点、在单位圆上，且，，．（1）求的值；（2）设，，四边形的面积为，，求的最值及此时的值．【分析】（1）依题意，可求得，将中的“弦”化“切”即可求得其值；（2）利用向量的数量积的坐标运算可求得，利用，即可求得的最值及此时的值．【解答】解：（1）依题意，，；（2）由已知点的坐标为，又，，四边形为菱形，，，，，，，当，即时，；当，即时，．【点评】本题考查三角函数的最值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及向量的数量积的坐标运算，考查正弦函数的单调性及最值，属于中档题．12．如图，在平面直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于，两点．（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求；（2）已知点，，，求【分析】（1）利用三角函数的定义与和差公式即可得出．（2）利用三角函数求值、和差公式、数量积运算性质即可的．【解答】解：（1）点的纵坐标为，点的横坐标为，，，为锐角，，，，（2），，，，，．【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式、三角函数求值、和差公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知（1）求的值；（2）若圆的圆心在轴上，圆心到直线的距离为且直线被圆所截弦长为，求圆的方程．【分析】利用诱导公式对已知等式进行化简得到，则，代入所求的代数式进行求值；利用圆心，半径（圆心到直线的距离为、半弦长、弦心距的勾股定理关系，求出圆心坐标，然后求出圆的标准方程．【解答】解：（1）由，得，；（2）由（1）知，，则，可得直线的方程为．设圆的方程为，则，由得，圆的方程是．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系的应用、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力