高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课堂检测，共17页。试卷主要包含了下列说法等内容，欢迎下载使用。
5.4三角函数的图象与性质一．选择题（共5小题）1．已知既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为　　A． B． C． D．2．设函数，若对于任意实数，在区间，上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，3．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为　　A． B． C．1 D．4．已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，，且，则　　A． B． C． D．5．已知函数，的一个零点是，并且图象的一条对称轴是，则当取得最小值时，函数的单调递减区间是　　A． B． C． D．二．填空题（共4小题）6．已知函数在上的值域为，则的取值范围为　　．7．函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，在点列中存在三个不同的点，，，使得△是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则　　．8．下列说法：①函数是最小正周期为的偶函数；②函数可以改写为；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象的所有的对称中心为，；⑤将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是；其中所有正确的命题的序号是　　．（请将正确的序号填在横线上）9．已知函数的最小正周期为，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．三．解答题（共3小题）10．给定函数，，定义，为，的较小值函数．（1）证明：，；（2）若，，求，的最小正周期．（3）若，，，，，2．证明：“是周期函数”的充要条件是“为有理数”．11．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形．记，矩形的面积为．（1）请找出与之间的函数关系（以为自变量）；（2）求当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．12．已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和．（Ⅰ）求解析式及的值；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
5.4三角函数的图象与性质参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．已知既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为　　A． B． C． D．【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解．【解答】解：可设满足“且， “则．注意到五点法的最左段端点是，而，故有，当时，，此时，当时．此时故选：．【点评】本题考查了的奇偶性以及对称性的综合应用，属于难题．2．设函数，若对于任意实数，在区间，上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】令函数得，根据正弦函数的图象与性质，得出函数相邻零点满足的条件，求出相邻2个零点的最大距离和相邻3个零点占区间长度的最小值，由此求得的取值范围．【解答】解：令函数，解得，因为是由图象变换得到的，且最小正周期为，在，内，，所以函数相邻4个零点、、、满足：，，所以，即相邻两零点最大距离，相邻四个零点占区间长度最短为，，时，，，区间宽度为，所以至少有2个零点，至多有3个零点），解得，所以的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合解题思想，是难题．3．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为　　A． B． C．1 D．【分析】若在其定义域上的最大值、最小值分别为，，有最大值为，则的最小值为，由函数的最小正周期为，求出，则，令，则可视为曲线上一点到直线的距离，由此能求出结果．【解答】解：引理，若在其定义域上的最大值、最小值分别为，，有最大值为，则的最小值为．证明：可视为与的距离，则，，的最小值为，此时，函数的最小正周期为，，当时，，，则，令，则可视为曲线上一点到直线的距离，由的特征可知，在，必存在一个极值点，记为，根据曲线的对称性可设，则在，上单调减，在，上单调增，由为的对称轴，知，，离越远，越大，记为0，中距较远的一个，则，，，，由引理知．故选：．【点评】本题考查函数在闭区间上最大值的最小值的求法，考查三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．4．已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，，且，则　　A． B． C． D．【分析】零点即为曲线和轴的交点，所以先求出对称轴方程，在给定区间，上由8条对称轴，有中点坐标公式可知，以此类推，最后两个零点加和等于对称轴的二倍，各式相加，就可得出答案．【解答】解：令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，令，可得，所以函数在，上有9条对称轴．根据正弦函数的性质可知，，，，，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，，故选：．【点评】本题结合正弦函数图象，找出对称轴方程，对称轴两侧就是两个零点，两个零点加和的二倍等于对称轴的横坐标．5．已知函数，的一个零点是，并且图象的一条对称轴是，则当取得最小值时，函数的单调递减区间是　　A． B． C． D．【分析】根据三角函数的对称性，和零点关系建立方程，结合取得最小值时的等价条件，求出 和的值，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：的一个零点是，，即，则或，图象的一条对称轴是，，，若取得最小，即周期最大，此时对应的取相同值，则当时．或，，若得，，若，得不满足条件．则，由，，得，，即函数的单调递减区间为，，，故选：．【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解，结合对称性以及函数零点建立方程求出函数的解析式是解决本题的关键．有一定的难度．二．填空题（共4小题）6．已知函数在上的值域为，则的取值范围为　　．【分析】首先，利用三角函数两角和公式，进行化简，其次，结合值域的取值范围求出的取值范围，最后根据该取值范围求出最终的解．【解答】解：由题意可得，，，其中，，，设，，，，，，，，，，即，，的取值范围为，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的两角和公式，以及三角函数求最大值的万能公式，并且还需学生熟练掌握的图像性质，属于较难题．7．函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，在点列中存在三个不同的点，，，使得△是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则　　．【分析】由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列，进行求解即可．【解答】解：由，得，，由题意得，，，，，即，，，，，，，，由△是等腰直角三角形，得，即，得，同理△是等腰直角三角形得，得．同理△是等腰直角三角形得，得．，则，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．8．下列说法：①函数是最小正周期为的偶函数；②函数可以改写为；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象的所有的对称中心为，；⑤将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是；其中所有正确的命题的序号是　②③　．（请将正确的序号填在横线上）【分析】①把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，且根据正弦函数为奇函数，得到函数也为奇函数，即可作出判断；②根据诱导公式化简函数解析式，即可作出判断；③由②化简得到的函数解析式，令其角度等于，求出的解，判断属于求出的的解集，故本选项正确；④先根据正切函数是奇函数，因而原点是它的对称中心，以及周期性可知点都是它的对称中心，然后平移坐标系，使原点移到，得到，依旧是奇函数，点，也是对称中心，综合到一起就得到对称中心是，．是整数）；⑤先根据“左加右减”的平移规律把函数解析式进行变形，然后再根据伸缩规律把解析式中变为，即可得到变换后的解析式，作出判断．【解答】解：①函数，，，又正弦函数为奇函数，为奇函数，则为周期为的奇函数，本选项错误；②函数，本选项正确；③函数，令，解得，时，，则函数图象关于直线对称，本选项正确；④，因此正切函数是奇函数，因而原点是它的对称中心．又因为正切函数的周期是，所以点都是它的对称中心．平移坐标系，使原点移到，得到，依旧是奇函数，所以在新坐标系中点也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是，综合到一起就得到对称中心是，．是整数），本选项错误；⑤将函数的图象先向左平移个单位，得到，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为，本选项错误，则正确选项的序号为：②③．故答案为：②③【点评】此题综合考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形，余弦函数的对称性，以及三角函数的图象变换规律，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，诱导公式，函数奇偶性的判断，以及函数平移的规律，要求学生要融汇贯穿，灵活运用所学知识解决问题．9．已知函数的最小正周期为，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，　．【分析】由题意利用三角函数的周期性求得的值，可得的解析式，化简条件可得，，则，再利用二次函数的性质，求得实数的取值范围．【解答】解：函数的最小正周期为，，函数．若，，则，，，，，，，，则不等式恒成立．令，，则．①，且②，解①求得，解②求得．综合可得，实数的取值范围是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于中档题．三．解答题（共3小题）10．给定函数，，定义，为，的较小值函数．（1）证明：，；（2）若，，求，的最小正周期．（3）若，，，，，2．证明：“是周期函数”的充要条件是“为有理数”．【分析】（1）运用新定义，去绝对值即可得证；（2）由正弦函数及余弦函数的周期求解；（3）应用周期函数的定义，结合和差化积公式证明．【解答】证明：（1）若，则；若，则．综上，，；解：（2）由（1）知，，，记，对任意，，是函数的一个周期．若存在使得也是的周期，由，得，①由，得，②两式相减得，或，代入②可知只能，与矛盾．，的最小正周期为；证明：（3）为周期函数，，有恒成立，由，可得，，即，，由，可得，，即有，，，，且，，即有为有理数”．可得“是周期函数”的充要条件是“为有理数”．【点评】本题考查分段函数的表示法与性质，考查周期函数的判断与证明，注意定义法的合理运用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属难题．11．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形．记，矩形的面积为．（1）请找出与之间的函数关系（以为自变量）；（2）求当为何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．【分析】（1）先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积；（2）再利用角的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可．【解答】解：在中，，在中，（2分），，（4分）矩形的面积（8分）（2）由，得，（10分）所以当，即时，（12分）所以，当时，矩形的面积最大，最大面积为．（14分）【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．12．已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和．（Ⅰ）求解析式及的值；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出和的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得的单调增区间，（Ⅲ）由题意可得若时，方程 有2个解，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和，，，即，，且，，．令，求得．（Ⅱ）令，求得，可得函数的增区间为，，． （Ⅲ）若时，函数有两个零点，即有2个实数根，即方程 有2个解．若时，，，，，结合正弦函数的图象可得，应有，解得，即实数的取值范围，．【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性，正弦函数的图象和性质