2023-2024学年重庆十八中八年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析）

2023-2024学年重庆十八中八年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.年月在北京和张家界举行了第届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形如果第三根木棒长为偶数，则满足条件的三角形的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.如图，，在线段，上，且，再添加条件，不能得到≌．(    )

A.
B.
C.
D.

5.已知，介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.在三角形纸片中，，将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价元若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高设上衣和裤子在调价前单价分别为元和元，则可列方程组为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如果关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”例如，对于，，进行“绝对运算”，得到：．
对，，，进行“绝对运算”的结果是；
对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是；
对，，，进行“绝对运算”，化简的结果可能存在种不同的表达式；
以上说法中正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.的算术平方根是______．

12.一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为______．

13.计算 ______ ．

14.已知的三边是，，，化简 ______ ．

15.在中，为中点，，设的面积为，的面积为
，若的面积为，则 ______ ．

16.如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作，垂足分别为、若，，则的周长是______ ．

17.如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕为再将和分别沿，折叠，此时点、落在上的同一点处点是的中点；；；其中正确的结论有______ 只填序号．

18.如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数，，是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的倍记为则的值为______ ；若三位数是“三决数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解方程组或不等式组：
；
．

20.本小题分
在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空：
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接不写作法，不下结论，只保留作图痕迹
垂直平分线段，
______ ，．
在和中，

≌．
______ ．
在中，，，
______
______
．
在和中，

≌．
≌≌．

21.本小题分
已知在平面直角坐标系中有三点，，请完成下列问题：
在坐标系内描出点，，的位置，并画出．
求出以，，三点为顶点的三角形的面积．
在轴上是否存在点使以，，三点为顶点的三角形的面积为若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.本小题分
重庆市年体育中考已经结束，现从某校初三年级随机抽取部分学生的成绩进行统计分析成绩得分用表示，共分成个等级，：，：，：，：，绘制了如下的统计图，请根据统计图信息解答下列问题：

本次共调查了______ 名学生；
请补全条形统计图；
在扇形统计图中，的值是______ ；对应的扇形圆心角的度数是______ ；
若该校初三年级共有名学生，估计此次测试成绩优秀的学生共有多少人？

23.本小题分
已知：如图，，，，垂足分别为、，、相交于点，求证：．

 

24.本小题分
某工厂采购，两种原料共花费万元原料采购了吨，原料采购了吨两种原料的单价之和是万元．
求，两种原料单价各为多少万元吨？
现计划安排甲，乙两种不同规格的货车共辆运输这批原料，每辆甲货车可装吨原料和吨原料，每辆乙货车可装吨原料和吨原料，问共有哪几种运输方案？

25.本小题分

如图在和中，，，．
求证：≌；
判断与的数量与位置关系，并证明．

26.本小题分
【初步探索】
如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______；
【灵活运用】
如图，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
如图，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：由点和点关于轴对称，得
，．
则．
故选：．
根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的坐标特征得出、的值是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：设第三根木棒的长度为，
由三角形三边关系可得，
即，
又为偶数，
的值为，，，，共四种，
故选：．
根据三角形的三边关系可求得第三边的取值范围，再求得其中的偶数的个数即可求得答案．
本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
已有条件，公共角，然后根据所给选项，结合全等三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】
解：、添加可利用判定≌，故此选项不符合题意；
B、添加可得，可利用判定≌，故此选项不符合题意；
C、添加可利用判定≌，故此选项不符合题意；
D、添加不能判定≌，故此选项符合题意；
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
在和之间，即．
故选：．
先估算出的范围，即可求得答案．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：是的边上的中线，
，
是的边上的中线，
，
又是的边上的中线，则是的边上的中线，
，，
则，
故选：．
利用中线等分三角形的面积进行求解即可．
本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
．
故选：．
根据题意，已知，，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
本题通过折叠变换考查三角形内角和定理，熟练掌握翻折的性质及三角形内角和为是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．根据“上衣和裤子一套售价元．若将上衣价格下调，将裤子价格上调，则这样一套运动套装的售价提高”列方程组即可．
【解答】
解：根据题意可列方程组为，
故选C．

9.【答案】 

【解析】解：由，得，
由，得，
不等式组有且只有个奇数解，
这三个奇数解是，，，
，
解得，
由方程，可得，
方程的解为非负整数，
且为整数，
解得且为整数，
由上可得，且为整数，
满足条件的整数的值为，，，
，
符合条件的所有整数的积为，
故选：．
根据不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的积即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围．

10.【答案】 

【解析】解：对，，，进行“差绝对值运算”得：，
故正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和的距离之和，
的最小值为，
，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确；
对，，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种，
故不正确，
综上，故只有个正确的．
故选：．
根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；
首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是，
故答案为：
先利用算术平方根求出的值，继而即可得到结果．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，则有
，
解得：，
这个多边形的边数为．
故答案为：．
根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于，列出方程，解出即可．
本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先根据有理数的乘方，算术平方根的性质，立方根的性质化简，再计算，即可求解．
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根的性质，立方根的性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：的三边是，，，
，，
，，，
则原式，
故答案为：．
根据三角形的三边关系得到，，，再根据绝对值的性质、合并同类项计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，，点是的中点，
，，

，

．
即的值为；
故答案为：
先分别求出，再根据，即可求出结果．
本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：连接、．

平分，，，
．
在的垂直平分线上，
．
在与中，
，
≌．
．
在与中，
，
≌．
．
的周长．
故答案为：．
连接、证明≌，得出证明≌得出则可求出答案．
本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

17.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质可得：，
是的中点，故正确；
，，，，，，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
，
不垂直于，故错误，
综上所述：正确的是．
故答案为：．
由折叠的性质可得，，，，，，，可得是的中点，故正确；可得由平角的性质可得，，可证，故正确；由平行线的性质可得，故正确，根据翻折即可证明不垂直，故错误，即可求解．
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

18.【答案】   

【解析】解：
，

，

．
设三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，

；

，


，
，，
，
是完全平方数，
，
；；；；，
三位数是“三决数”，
，
，
当时，或，均不符题意舍去，
当时，或，舍去，
为；
当时，或，舍去，
为；
当时，或，舍去，
为或；
当时，或，舍去，
为或；
的最大值为．
故答案为：；．
按照定义计算即可．
本题考查了整式的化简的应用，因式分解及合理的推理是解题关键．

19.【答案】解：，
化简，得：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
原方程组的解是；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是． 

【解析】先将方程组化简，然后根据加减消元法解方程组即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解不等式组的方法．

20.【答案】       

【解析】解：如图：即为所求；
垂直平分线段，
，．
在和中，
，
≌．
．
在中，，，
．
．
．
在和中，
，
≌．
≌≌．
故答案为：，，，，，．
先根据作线段的垂直平分线的基本做法作图，再根据全等三角形的判定定理证明．
本题考查了复杂作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

21.【答案】解：描点如图：

由题意得轴，且，
由图得到的距离为，
；
存在，
，，
点到的距离为，
又点在轴上，点的坐标为或． 

【解析】根据平面直角坐标系的知识即可描出，，的位置；
以为底边，求出的值，到的距离为高，根据图象得出高为，用三角形的面积公式即可求出三角形的面积；
根据三角形的面积求出到的距离，再由在轴上确定点的位置．
本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能根据图形适当的选取三角形的底和高．

22.【答案】     

【解析】解：人，
即本次共调查了名学生，
故答案为：；
等级的人数为：人，
补全条形统计图如图：

等级的人数所占的百分比为：，
，
对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，；
人，
答：估计此次测试成绩优秀的学生共有人．
用等级的人数除以所占百分比可得调查总人数；
用总人数减去其余等级的人数得到等级的人数，即可补全条形统计图；
用等级的人数除以总人数，求出等级的人数所占的百分比即可得到的值；用等级的人数除以总人数乘以即可得到对应的扇形圆心角的度数；
用乘以等级所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．

23.【答案】证明：，，
与是直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】先根据，可得出与是直角三角形，再由，可得出，由可知≌，由全等三角形的性质可知，，结合即可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意判断出≌，再根据全等三角形的对应相等进行解答是解答此题的关键．

24.【答案】解：设原料单价为万元吨，原料单价为万元吨，
根据题意得：，
解得：．
答：原料单价为万元吨，原料单价为万元吨；
设安排辆甲货车，则安排辆乙货车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
共有种运输方案，
方案：安排辆甲货车，辆乙货车；
方案：安排辆甲货车，辆乙货车；
方案：安排辆甲货车，辆乙货车． 

【解析】设原料单价为万元吨，原料单价为万元吨，根据“两种原料的单价之和是万元；原料采购了吨，原料采购了吨，共花费万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设安排辆甲货车，则安排辆乙货车，根据安排的两种货车一次可运输原料不少于吨、原料不少于吨，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各运输方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

25.【答案】解：，
，
，
在和中，
，
≌；
，，理由：
如图，延长交于，交于，
，
由知，≌，
，，
，
，
，
，
．
与的数量与位置关系为，． 

【解析】先判断出，即可得出结论；
由的结论得出，，再用等角的余角相等，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角或等角的余角相等，构造出全等三角形是解本题的关键．

26.【答案】
解：仍成立，如图，延长到点，使，连接．
，，
．
又，

，．
，，

．

证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
．
又，

，．
，，
．
．
，
．
，
即．
． 

【解析】解：理由：
如图，延长到点，使，连接，根据可判定，进而得出，，
再根据可判定，可得出．
故答案为：；

分析：
延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．