2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济南市历下区燕山中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各组中的四条线段成比例的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，2.已知，下列变形错误的是(    )A.  B.  C.  D. 3.如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、，若，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 4.如图，夏季的一天，身高为的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影由到走去，当走到点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.如图，在▱中，为上一点，连接、，且、交于点，：：，则：(    )
 A. ： B. ： C. ： D. ：6.现将正面分别写有“道路自信”“理论自信”“制度自信”和“文化自信”的四张卡片除卡片正面的内容不同外，其余完全相同背面朝上放在桌面上，混合均匀后从中随机一次抽取两张卡片，则恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片的概率是(    )A.  B.  C.  D. 7.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )A. 不存在 B.  C.  D. 或8.如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，∽，则的度数为(    )
A.  B.  C.  D. 9.晚上，小亮走在大街上时发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为，左边的影子长为，又知自己身高，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为，则路灯的高为(    )A.  B.  C.  D. 10.如图，∽，，与交于点，，，是的中点，连接，，若点是射线上的动点，下列结论：∽，∽，，，其中正确的是(    )
 
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如果，且，则______。12.在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有______个．13.如图，校园里一片小小的树叶，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______．
14.如图，在中，，于点，，，则的长是______ ．
 15.如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为如果、两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
 16.如图，在边长为的正方形中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点，分别在边，上，则放入的四个小正方形的面积之和为______．
 三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
解方程：
；
．18.本小题分

如图，▱中，是延长线上一点，交于求证：．
19.本小题分
“双减”意见下，我区教体局对课后作业作了更明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：表示“分钟以内完成”，表示“分钟以内完成”，表示“分钟以内完成”，表示“分钟以上完成”根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．

这次调查的总人数是______人；扇形统计图中，类扇形的圆心角是______；类扇形所占的百分比是______．
在类学生中，有名男生和名女生，再需从这名学生中抽取名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽名学生恰好是名男生和名女生的概率．20.本小题分

如图，综合实践活动课中小明同学用自制的直角三角形模具测量树的高度，他调整自己的位置，让斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，，，测得边离地面高度，，求树高．
21.本小题分

在中，，，以点为直角顶点作等腰点在上，点在上，点在上，且，
求证∽；
若，求的长．
22.本小题分
材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，例：求的最小值；
解：令，，
，，的最小值为．
请利用上述方法解决下列问题：如图，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．
若，求矩形的面积；
设求矩形的面积最大值．
23.本小题分
如图，已知和均为等腰直角三角形，点、分别在线段、上，．
观察猜想：
如图，将绕点逆时针旋转，连接、，的延长线交于点当的延长线恰好经过点时，点与点重合，此时，
的值为______ ；
的度数为______ 度；
类比探究：
如图，继续旋转，点与点不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
拓展延伸：
若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出线段的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，四条线段不成比例，不符合题意；
B、，四条线段不成比例，不符合题意；
C、，四条线段成比例，符合题意；
D、，四条线段不成比例，不符合题意．
故选：．
本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．2.【答案】 【解析】解：由得，，
A、由比例性质可得：，正确；
B、与不符合，错误；
C、由比例性质可得：，正确；
D、，正确．
故选：．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例解答即可．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【解答】
解：如图，，，
，
小玲与大树都与地面垂直，
∽，
，
即，
解得．
故选：．5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出∽，再根据：：即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出：的值，由即可得出结论．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，
，，
∽，
：：，
：：，
，
：：．
故选B．6.【答案】 【解析】解：设“道路自信”为，“理论自信”为，“制度自信”为，“文化自信”为，
树状图如右图所示，
一共有种等可能性，其中恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片有种可能性，
恰好抽到写有“文化自信”和“理论自信”的卡片概率为，
故选：．
根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．7.【答案】 【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得：或．
故选D．
根据方程有两个相等的实数根即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值．
本题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于的一元二次方程是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：∽，
，
，
故选：．
利用相似三角形的性质，证明，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明．9.【答案】 【解析】解：设小亮离右边的路灯为，则离左边的路灯为，
再设路灯的高为，
，，，
∽，∽，
，，
，

解得米，米，即路灯高米．
故选：．
首先根据已知条件求证出∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度．
本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解．10.【答案】 【解析】解：∽，
，
，
∽，
，
，
，
∽，故正确，
∽，∽，
，，
，
，
是的中点，则，
，
，
，故正确，
在中，，，
，
∽，
，
，
，
，故正确，
，
，
无法判断∽，故错误．
故选D．
首先证明∽，推出∽，再证明，可得正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断正确．
本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用．11.【答案】 【解析】解：，
由等比性质，得，
．
故答案为：．
根据等比性质，可得答案．
本题考查了比例等性质，利用了等比性质．12.【答案】 【解析】解：设布袋中黄球有个，
根据题意，得：，
解得：，
即布袋中黄球可能有个，
故答案为：．
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13.【答案】 【解析】解：为的黄金分割点，，
，
故答案为：．
直接利用黄金分割的定义计算出的长即可．
此题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．14.【答案】 【解析】解：在中，，于点，
，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为：．
直接利用射影定理进行计算即可．
本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理是解答本题的关键．15.【答案】或 【解析】解：设经过秒时，与相似，则，，，
，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得；
即经过秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
设经过秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．16.【答案】 【解析】解：如图，过作于，
则，
，
，
∽，
，
，，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
，
，
四个小正方形的面积之和，
故答案为：．
作，证明∽，根据相似三角形的性质得到，，根据正方形的性质列方程求出，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．17.【答案】解：，
，
或，
解得：，；

，
，
，
或，
解得：，． 【解析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18.【答案】证明：
在▱中，因为，所以，
又因为，所以∽，所以，
又，所以，故AD． 【解析】根据已知条件很容易就可推出∽，求出对应边的比例式，根据，进行相关线段的等量代换即可．
本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，本题的关键是证明和相似，根据平行四边形的性质找到相等关系，进行等量代换．19.【答案】     【解析】解：这次调查的总人数为人，
扇形统计图中，类扇形的圆心角为，
类的学生人数为人，
类扇形所占的百分比为．
故答案为：；；．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的结果有种，
所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率为．
用类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用类学生人数除以总人数再乘以，即可得类扇形的圆心角；先求出类学生人数，进而可得类扇形所占的百分比．
画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20.【答案】解：，，
∽，
，
，，，
，
，
，
答：树高为． 【解析】利用和相似求得的长，加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证得∽．21.【答案】证明：，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∽；
解：由知∽，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
∽，
：：，即，
，
，
负的已舍，
． 【解析】利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论；
利用∽，求出，再证∽，可求，进而解答即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键．22.【答案】解：为高，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，

，
矩形的面积；
由题意和知：，，，，且∽，
，即，
，
设矩形的面积为，
，
，
，
，
矩形的面积最大值为． 【解析】可证∽从而得出，同时，从而可求出，进而求出矩形的面积；
易得四边形为矩形，则，所以，由∽，利用相似比得到，设矩形的面积为，根据矩形的面积公式得到，把它整理为关于的方程得到，然后利用判别式得到的范围，从而得到矩形的面积最大值．
本题考查相似三角形的应用，通过相似三角形的性质求相应线段的长，也考查一元二次方程的应用和根的判别式．23.【答案】 
如图中，设交于点．

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，，
，
，
，；
如图中，当于时，

，，，
，
，
，
，
，
，
．
如图中，当时，延长交于．

同法可得，，，
，
综上所述，的长为或． 【解析】解：如图中，设交于点．

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，，
，
，
故答案为：，；

如图中，设交于点证明∽，推出，，再证明，可得结论．
如图中，设交于点证明∽，可得结论．
分两种情形：如图中，当于时，如图中，当时，延长交于分别求出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．