2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为(    )A.  B.  C.  D. 3.用配方法解一元二次方程，可将方程配方为(    )A.  B.  C.  D. 4.如图，将绕其直角顶点按顺时针方向旋转后得到，连接，若，则等于(    )A.
B.
C.
D. 5.如图，点、、为上的点，若，且，则(    )A.
B.
C.
D. 6.下列抛物线的顶点坐标为的是(    )A.  B.  C.  D. 7.下列语句中不正确的有(    )
平分弦的直径垂直于弦；
圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
长度相等的两条弧是等弧．A. 个 B. 个 C. 个 D. 以上都不对8.已知关于的方程的一个根为，则实数的值为(    )A.  B.  C.  D. 9.如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 10.平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若是关于的一元二次方程，则________．12.一个圆锥的母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积是          结果保留．13.如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为______．

 14.若关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为______ ．15.如图，在中，，以上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，若，则半径为______ ．
 16.如图，在中，，，，是边上的一个动点，连接，作于点，连接，则长的最小值为______．
 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.已知关于的方程 ．
求证：方程一定有两个实数根；
若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.本小题分
解方程：
                       
 19.本小题分
我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年月份投递快递总件数为万件，月份投递快递总件数万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．
求该公司投递快递总件数的月增长率；
若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数是否达到万件？20.本小题分

如图所示，在中直径垂直于弦，垂足为，若，求的半径．
21.本小题分
如图，在中，是边上一点，请用尺规作图法作绕点旋转后得到的，使旋转后的边与边重合．保留作图痕迹，不写作法
22.本小题分
某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量件与销售单价元的关系符合一次函数．
直接写出销售单价的取值范围．
若销售该服装获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？
若获得利润不低于元，试确定销售单价的范围．23.本小题分

如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求图中阴影部分的面积．
24.本小题分
在正方形中，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
如图，若点在线段的延长线上，过点作交于点，交对角线于点，连接
请根据题意补全图形不需要用尺规作图；
若，求的度数；
求证：
若点在射线上，直接写出、、三条线段的数量关系______．

 25.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，点在点的左侧，点是抛物线上一点．
若，时，用含的式子表示；
若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；
在的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解析式．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．2.【答案】 【解析】解：点与点关于原点对称，
点的坐标为，
故选：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的规律．3.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
此题考查了解一元二次方程配方法．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．4.【答案】 【解析】解：绕其直角顶点按顺时针方向旋转后得到，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
根据旋转的性质可得，，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5.【答案】 【解析】解：，
；
；
故选：．
由平行线的内错角相等，易求得的度数，然后可根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质及圆周角定理的应用．6.【答案】 【解析】解：、抛物线的顶点坐标为，此选项不符合题意；
B、抛物线的顶点坐标为，此选项不符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，此选项符合题意；
D、抛物线的顶点坐标为，此选项不符合题意；
故选：．
根据抛物线的顶点坐标为逐一判断可得．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．7.【答案】 【解析】解：平分弦非直径的直径垂直于弦，所以的说法错误；
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以的说法错误；
能完全重合的两条弧是等弧，所以的说法错误．
故选：．
根据垂径定理对进行判断；根据圆的对称性对进行判断；根据等弧的定义对进行判断．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．8.【答案】 【解析】解：因为是原方程的根，所以将代入原方程，即成立，解得．
故选：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．9.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等边三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，进而可求出的度数．
本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．10.【答案】 【解析】解：，
对称轴为直线，
如图，在抛物线上的两点和，关于直线对称，则点在反直线上，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据题意设在抛物线上的两点和，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得，则，代入解析式，即可求得．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．11.【答案】 【解析】解：由是关于的一元二次方程，得

解得且，

故答案为：．
本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为；是整式方程；含有一个未知数．由一元二次方程的定义，可得，，解之即可．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是，二次项系数不为．12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．
圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】
解：圆锥的侧面积，
故答案为．13.【答案】 【解析】解：，
，
将绕点旋转到的位置，
，，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．14.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，
，
解得：．
故答案为：．
由一元二次方程根与系数得，据此解出即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．15.【答案】 【解析】解：连接，

为半径的圆与相切于点
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
故，
解得：，
则的半径为：．
故答案为：．
直接利用切线的性质得出，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出的半径．
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确得出的度数是解题关键．16.【答案】 【解析】解：如图，取中点，连接、．

，，
点在以长为直径的圆周上运动，当点、、在同一直线上时，最短．
在中，，，，
，，
，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
取中点，连接、易得点在以长为直径的圆周上上运动，当点、、在同一直线上时，最短．据此计算即可．
本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键．17.【答案】证明：，
，
方程一定有两个实数根；
解：

，，
方程的两个实数根都是整数，
正整数或． 【解析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程一定有两个实数根；
利用因式分解法求出，，然后利用整除性确定的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．18.【答案】解：因式分解，得

于是，得
或
，．
解：，，


． 【解析】根据因式分解法，可得答案；
根据公式法，可得答案．
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．19.【答案】解：设该公司投递快递总件数的月增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该公司投递快递总件数的月增长率为．
万件，
，
若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数不能达到万件． 【解析】设该公司投递快递总件数的月增长率为，利用该快递公司今年月份投递快递总件数该快递公司今年月份投递快递总件数该公司投递快递总件数的月增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
利用该快递公司今年月份投递快递总件数该快递公司今年月份投递快递总件数该公司投递快递总件数的月增长率，可求出该快递公司今年月份投递快递总件数，再将其与万件比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】解：连接
，为圆心
，
设，
，
在中，由勾股定理得：
，
， 【解析】连接，由垂径定理可知，设半径为，由勾股定理可求出的值．
本题考查垂径定理，涉及勾股定理，一元一次方程的解法，完全平方公式，解题的关键是根据勾股定理列出方程求出的值．21.【答案】解：如图，即为所求．
 【解析】根据旋转的性质即可作绕点旋转后得到的，使旋转后的边与边重合．
本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．22.【答案】解：；     

，
，
，
抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，
而，当时，．
当销售单价定为元时，可获得最大利润，最大利润是元．

由，得，
整理得，，
解得，，，
可知要使获得利润不低于元，销售单价应在元到元之间，
而，
所以，销售单价的范围是． 【解析】由题意可知销售单价的取值范围为：大于等于成本，小于等于成本．
根据利润售价成本销售量列出函数关系式，
令函数关系式，解得，然后进行讨论．
本题主要考查二次函数的应用，根据利润售价成本销售量列出函数关系式，求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．23.【答案】解：直线与相切，
理由：如图，连接，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
如中图，
是的直径，
，
，

，
，
，，

，
图中阴影部分的面积． 【解析】连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：补全图形如图所示：

解：四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，，
是等腰直角三角形，
，
；
证明：如图所示：

线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
四边形是正方形，
，，
于，
，
，
，
，
即，
在和中，

，
，，
，
，
，
，
，
．
或 【解析】见答案；
见答案；
见答案．
解：分两种情况：
当点在线段上时：，理由如下：

在上截取，连接．
则是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
又，
，
在和中，

，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，，理由如下：

在上截取，连接，如图所示：
则是等腰直角三角形，．
四边形是正方形，
，，，
，，
由旋转的性质得：，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：或．
据题意补全图形即可；
由正方形和旋转的性质证出，即可得出答案；
证明即可；
当点在线段上时，在上截取则是等腰直角三角形，证明，得出，即可得出结论；
当点在线段的延长线上时，在上截取则是等腰直角三角形，证明，得出，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判断和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：，
，
在抛物线上，
，
；
，，
，
在抛物线上，
，
，
，
令，则，
或，
点坐标为，点坐标为，
的外接圆为，
点在的垂直平分线上，
点横坐标为，
设点坐标为，
，
，
，
点坐标为，
，
，
，
，
；
，，
，
令，则，
，，
，
当时，有最小值，
，
． 【解析】本题考查二次函数的综合．
将已知条件代入，即可求解；
将已知条件代入，可求出抛物线的解析式，从而求出，，由外接圆的性质可知，点在的垂直平分线上，设，由，求出，再求出圆心角，即可求弧的长；
由题意得，再由根与系数的关系求出，，则，则当时，有最小值．