2023-2024学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

2023-2024学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示的工件，其俯视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.当时，函数的图象在(    )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

3.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，在中，，且：：：：，则：：等于(    )

A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：

6.如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.下面说法错误的是(    )

A. 点 ， 都在反比例函数图象上，且，则
B. 若点是线段的黄金分割点，，，则 
C. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形
D. 平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积

8.若，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，、两点在反比例函数的图象上，、两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在等腰中，，点是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点若，的面积分别为和，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.若，则 ______ ．

12.设、是方程的两个实数根，则的值为______．

13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于          ．
 

14.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴，垂足为点，连接，，与轴交于点，若，面积为，则的值为______．

15.如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
解下列方程：
；
；
化简求值：，其中．

17.本小题分
如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹
在图中，以为位似中心，位似比为：，在格点上将放大得到；请画出
．
在图中，线段上作点，利用格点作图使得．
在图中，利用格点在边上作一个点，使得∽．

 

18.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数是常数，，的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于、两点，连接，是坐标原点
求一次函数与反比例函数的表达式；
直接写出当时的取值范围；
将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？

19.本小题分

在中，，，，点是的中点，过点作，且，连接．
求证：四边形是菱形；
连接交于点，过点作垂足为，求的长．

20.本小题分
芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试问答下列问题：
已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
经调查发现，条生产线最大产能是万个季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下生产线越多，投入成本越大，应该再增加几条生产线？

21.本小题分
【基础巩固】如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，求证：；
【尝试应用】如图，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长．
【拓展提高】在中．，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上．若，求的长．

 

22.本小题分
综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图所示方式摆放，其中点与点重合标记为点当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．

数学思考：请你解答老师提出的问题；
深入探究：老师将图中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
“善思小组”提出问题：如图，当时，过点作交的延长线于点，与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明请你解答此问题；
“智慧小组”提出问题：如图，当时，过点作于点，若，，求的长请你思考此问题，直接写出结果．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】
解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，
故选B．

2.【答案】 

【解析】解：函数中，，
函数图象在二、四象限，
又，
函数的图象在第二象限．
故选：．
利用反比例函数的性质，时，函数图象位于二四象限，再根据即可解答．
本题考查反比例函数的性质：
当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
当时．在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．

3.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
，
点，位于第三象限，
，
，
点位于第一象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．

4.【答案】 

【解析】解：、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出∽，故此选项符合题意；
D、当时，即，再由，可得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
∽∽，
：：：：，
：：：：，
设的面积是，则和的面积分别是，，
则和分别是，，
：：：：．
故选：．
由于，那么∽∽，根据：：：：，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出、四边形、四边形的面积比．
本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
【解答】
解：由作法得垂直平分，
，，，
平分，
，
，
四边形为菱形，
，
∽，
，
，，，
，
解得：，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：、点 ， 都在反比例函数图象上，且，则，故A符合题意；
B、若点是线段的黄金分割点，，，则 ，故B不符合题意；
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故C不符合题意；
D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，故D不符合题意；
故选：．
根据黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，逐一判断即可解答．
本题考查了黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，
、异号，
选项中，由一次函数图象可知：，，故选项A不符合题意；
选项中，由一次函数图象可知：，，故选项B不符合题意；
选项中，由一次函数图象可知：，，由反比例函数图象可知，故选项C符合题意；
选项中，由一次函数图象可知：，，故选项D不符合题意；
故选：．
根据，可知、异号，再根据各个选项中一次函数的图象和反比例函数的图象，可以判断、的正负情况，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出、的正负情况．

9.【答案】 

【解析】解：设，，，，则
，
，
得，
同理：，得，
又，
，
解得：，
故选：．
设出，，，，由坐标转化线段长，从而可求出结果等于．
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

10.【答案】 

【解析】解：，
，
由折叠得：，，，
，
，
∽，
，的面积分别为和，
，
，
设，，
，，
，
设，
则，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据已知易证字模型相似三角形∽，从而求出对应边的比，然后设，，表示出与的长，再根据，求出，最后进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：设，则，，，
所以，
故答案为．
设，得到，，，然后把它们代入原式进行分式的运算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质，合理引入参量是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，
是方程的根，
，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系、方程的根的定义，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理．
先根据三边对应成比例，证明∽，再根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答．
【解答】
解：，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
设，，
，，
，
，
，
点在双曲线上，点在双曲线上，
，，
．
故答案为：．
设，，根据面积为可列出方程，求出的值，再分别求出，即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，则点的坐标满足函数的解析式，也考查了反比例函数的系数的几何意义．根据面积关系得出方程是解决问题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交延长线于，

，
在正方形中，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，，
，
，
是正方形对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由得：，
，
在正方形中，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过点作，交延长线于，先证出∽，根据相似三角形的性质可得，再根据可得，利用勾股定理可得，从而可得，，然后利用勾股定理可得，最后证出∽，根据相似三角形的性质可得，由此即可得．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．

16.【答案】解：，
，
，
或，
解得，．
，
，，，
，
，
，；
，

原式

，
又，
原式． 

【解析】利用因式分解法解方程即可；
利用公式法解方程即可；
先计算乘除，后计算加减，再利用整体代入的思想解决问题．
本题考查解一元二次方程，分式的化简求值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，属于中考常考题型．

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，点为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】延长到使，延长到使，点在点，则满足条件；
构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点，根据平行线分线段成比例定理可判断点满足条件；
把绕点逆时针旋转得到，平移使点与点重合，则点的对应点为点，则与的交点为点．
本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形是解决问题的关键．

18.【答案】解：把代入是常数，，，得，
反比例函数的解析式为，
把代入，得，
，
把，坐标分别代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
由图可知，当时的取值范围为：或；
设直线向下平移个单位长度，此时直线对应的表达式为，
联立方程组得，
消去得，
整理得，
由于直线与反比例函数图象只有一个交点，
，即，整理得，解得，，
将直线向下平移或个单位长度，直线与反比例图象只有一个交点． 

【解析】根据题意，由待定系数法确定函数关系式直接代入点列方程及方程组求解即可得到答案；
根据图象即可求解；
根据函数图象平移，设直线向下平移个单位长度，此时直线对应的表达式为，联立方程组，消去整理得，结合图象只有一个交点，确定只有一个解，即，解一元二次方程即可得到答案．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图象解不等式、函数图象平移及图象交点与一元二次方程解得情况等知识点是解决问题的关键．

19.【答案】证明：，且是中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形；
平行四边形是菱形，
，
，
∽，
，
即，
可得：，
在中，，
，
即，
在中，． 

【解析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，然后再证明，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
首先利用勾股定理得出关于进而求出即可．
此题主要考查了菱形、平行四边形的判定，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．

20.【答案】解：设前三季度生产量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：前三季度生产量的平均增长率为．
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又在增加产能同时又要节省投入成本，
．
答：应该再增加条生产线． 

【解析】设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量前三季度生产量的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加条生产线．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21.【答案】证明：，，
，
，，
，
∽，
，
；

解：如图中，延长交的延长线于点．

，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
；

解：如图，过点作与交于点，使，

，
，
∽，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用一线三等角模型，可说明∽，得；
如图中，延长交的延长线于点证明∽，推出，求出，，再利用勾股定理求解；
过点作与交于点，使，由同理得∽，可知，再利用∽，可得答案；
本题是相似形综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键．

22.【答案】解：结论：四边形为正方形．理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
≌，
．
矩形为正方形；

结论：．
理由：，
，
，
，
，即，
，
，
由得，
．
解：如图：设，的交点为，过作于，
≌，
，，，，
，
，
，
，
，
点是的中点，
由勾股定理得，
，
，
，即，
，
，，，
∽，
，
，即的长为． 

【解析】先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；
设，的交点为，过作于，则易得，点是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．