高中数学必修第一册第五章5.1.1《任意角》导学案-2019人教A版

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第五章 三角函数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用早期对于三角函数的研究可以追溯到古代.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份(即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同).对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的.喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学，这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理.古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.喜帕恰斯[读图探新]——发现现象背后的知识伦敦眼伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼(The British Airways London Eye)又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.问题1：伦敦眼转一圈需用时30分钟，这就叫周期现象，那么周期为多少呢？问题2：当游客坐伦敦眼达到最高点时，伦敦美景尽收眼底，总高度135米对应于三角函数的哪些量？链接：(1)周期为30分钟；(2)游客达到最高点与最低点时，分别对应了三角函数的最大值与最小值.5.1　任意角和弧度制5.1.1　任意角教材知识探究周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习.问题　小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？提示　时针转了－45°，分针转了－540°.1.角的分类　注意正角、负角的旋转方向2.角的加法(1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.(2)设α、β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β).3.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.教材拓展补遗[微判断]1.经过1小时，时针转过30°.(×)提示　因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.2.终边与始边重合的角是零角.(×)提示　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).3.第一象限角都是锐角.(×)提示　390°为第一象限角，但不是锐角.4.钝角是第二象限角.(√)5.第三象限的角一定比第一象限的角大.(×)提示　例如－120°为第三象限角，60°为第一象限角，故错误.[微训练]1.－378°是第________象限角.解析　－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.答案　四2.与－457°角的终边相同的角的集合是(　　)A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析　由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.答案　C[微思考]1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？提示　角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角.2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示　当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定相等.题型一　与任意角有关的概念辨析【例1】　(1)下列说法中，正确的是________(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称.解析　终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.答案　②⑤(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.解析　∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.答案　－40°规律方法　判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.【训练1】　写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数.解　题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二　终边相同的角的表示及应用在终边相同的角的表示中，k·360°可以理解为按一定方向转动的圈数，k取正整数时，按逆时针转，k取负整数时，按顺时针转，k＝0时，没有转动.【例2】　写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β