高中数学必修第一册第五章5.1.2《弧度制》导学案-2019人教A版

这是一份高中数学必修第一册第五章5.1.2《弧度制》导学案-2019人教A版，共15页。

5.1.2　弧度制
课标要求
素养要求
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养.
2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.

教材知识探究

摄氏度与华氏温度
“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度.”
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其结冰点是0 ℃，沸点为100 ℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度.

人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1 ”.按照华氏温标，则水的冰点为32，沸点为212.“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示.
摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：
华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.
问题　1.温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？
2.摄氏温度与华氏温度可以换算，而两种测量角的单位之间能否进行互化？怎样互化？
3.今后我们常用哪种单位来度量角？为什么？
提示　1.弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角.
2.可以，1°＝ rad，1＝°.
3.弧度书写方便简单.

1.度量角的两种单位制
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad
2.弧度数
(1)正角：正角的弧度数是一个正数.
(2)负角：负角的弧度数是一个负数.
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3.角度制与弧度制的换算　牢记180°＝π rad，1 rad＝ °

角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π__rad
2π rad＝360°
180°＝π__rad
π rad＝180°
1°＝__rad≈0.017 45 rad
1 rad＝()°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
4.扇形的弧长及面积公式　牢记公式是解决数学问题的关键
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝α·R
扇形的面积
S＝
S＝l·R＝α·R2

教材拓展补遗
[微判断]
1.1弧度就是1°的圆心角所对的弧.(×)
提示　1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角.
2.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.(√)
3.160°化为弧度制是π rad.(√)
4.1 rad的角比1°的角要大.(√)
5.扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|＝1×30＝30.(×)
提示　扇形的弧长公式l＝|α|r，α的单位为弧度.
[微训练]
1.下列命题中，假命题是(　　)
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C.1 rad的角比1°的角要大
D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
解析　根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.
答案　D
2.2 340°转化为弧度为________.
解析　2 340×＝13π.
答案　13π
3.已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为________.
解析　由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝.
答案　
4.若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限.
解析　2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈(0，)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
答案　一
[微思考]
对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示　角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z).

题型一　角度与弧度的互化及应用
【例1】　将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π.
解　(1)20°＝20×＝；
(2)－800°＝－800×＝－π；
(3)＝×°＝105°；
(4)－π＝－π×°＝－144°.
规律方法　角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算.
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·()°；n°＝n·.
【训练1】　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
解　(1)112°30′＝()°＝×＝.
(2)－＝－×()°＝－75°.
题型二　用弧度制表示角的集合
【例2】　用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).

解　(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为.
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是
.
规律方法　根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.
(4)按逆时针方向书写.
【训练2】　已知角α＝2 010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角.
解　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角.
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ<0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
题型三　扇形的弧长公式与面积公式的应用
【例3】　如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知∠AOB＝60°，AB的长度为100π m.怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？

解　如图所示，∵∠AOB＝60°＝，AB的长度为100π m，∴OA＝＝300(m).

根据题意可知，当⊙O1是扇形AOB内切圆时，广场的占地面积最大，设⊙O1与OA切于C点.连接O1O，O1C.
则∠O1OC＝30°＝，
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
又O1C＝O1O·sin ，
故O1C＝(300－O1C)×，
解得O1C＝100 m.
这时⊙O1的面积为π×1002＝10 000 π(m2).
规律方法　弧长公式及扇形面积公式的应用类问题的解决方法
首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意：
(1)看清角的度量制，选用相应的公式；
(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.
【训练3】　已知扇形AOB的周长为10 cm.
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.

解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2 cm，此时，θ＝＝ rad.
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－(r－)2＋(0 当r＝时，S取得最大值，
这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2 rad.

一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养.
2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题.
二、素养训练
1.下列各命题中，真命题是(　　)
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析　根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.
答案　D
2.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A.－－8π B.π－8π
C.－10π D.π－10π
解析　－1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π，选D.
答案　D
3.扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　)
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角减小到原来的一半
解析　设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，∴α＝，β＝＝＝α，即扇形的圆心角大小不变.
答案　A
4.若α∈(0，π)，且α与角－终边相同，则α＝________.
解析　－＝－2π＋，故α＝.
答案　
5.已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r＝－＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0 ∴当r＝时，Smax＝.
此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.

基础达标
一、选择题
1.与α＝＋2kπ(k∈Z)终边相同的角是(　　)
A.345° B.375°
C.－ D.
解析　因为k＝1，α＝＋2π＝375°，所以选B.
答案　B
2.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为(　　)
A.3 B.6
C.9 D.12
解析　设扇形的半径为R，由题意可得＝3，则R＝2，扇形的面积S＝lR＝×6×2＝6.
答案　B
3.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为(　　)
A.sin 2 B.
C.2sin 1 D.tan 1
解析　由图可知，弦长AB＝2，所以半径为，由弧长公式可得：lAB＝αr＝，故选B.

答案　B
4.已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为(　　)
A.α－β＝π＋2kπ(k∈Z)
B.α＋β＝0
C.α＋β＝2kπ(k∈Z)
D.以上都不对
解析　由已知可得α－β＝π＋2kπ(k∈Z).
答案　A
5.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)

A.6平方米 B.9平方米
C.12平方米 D.15平方米
解析　如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米).

答案　B
二、填空题
6.若的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为________.
解析　∵l＝|α|r，∴r＝＝4.故答案为4.
答案　4
7.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________.
解析　设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则解得
答案　＋，－
8.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________.

解析　由扇形面积公式S＝lr＝l·＝，知1＝，所以α＝2.
答案　2
三、解答题
9.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.

解　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成.故满足条件的角的集合为.
(2)将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.
(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为.
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.
10.已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π).
解　(1)1 690°＝1 440°＋250°
＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z).
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π，
∴－ ∴θ的值是－π，－π，π，π.
能力提升
11.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝，R＝10 cm，∴l＝αR＝ (cm).
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin×10×cos＝50 (cm2).
(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R
＝－R2＋15R＝－＋.
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15(cm)，
扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
12.已知扇形的圆心角为α，半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0)，求扇形的最大面积及此时α的值；
(2)若扇形的面积是定值S(S>0)，求扇形的最小周长及此时α的值.
解　(1)由题意，可得2r＋αr＝C，则αr＝C－2r，
得扇形面积S＝αr2＝(C－2r)r＝－r2＋Cr，
故当r＝C时，S取得最大值C2，此时α＝－2＝2.
(2)由题意，可得S＝αr2，则αr＝，
得扇形周长C＝2r＋αr＝2r＋≥4，
当且仅当2r＝，即r＝时取等号，
即r＝时，C取得最小值4，此时α＝＝2.