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高中数学必修第一册第五章5.2.2《同角三角函数的基本关系》导学案-2019人教A版
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这是一份高中数学必修第一册第五章5.2.2《同角三角函数的基本关系》导学案-2019人教A版，共17页。
5.2.2 同角三角函数的基本关系
课标要求
素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
问题 既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
蝴蝶效应
提示 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z).
1.同角三角函数的基本关系 注意角的范围
描述方式
基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
sin2α＋cos2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
tan__α＝(α≠kπ＋，k∈Z)
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
2.同角三角函数基本关系式的变形 公式的熟练程度决定解题的速度
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos__αtan__α；cos α＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.sin2α＋cos2β＝1.(×)
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2.sin2＋cos2＝1.(√)
3.对任意的角α，都有tan α＝成立.(×)
提示 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
4.若sin α＝，则cos α＝.(×)
提示 cos α＝±.
[微训练]
1.下列四个结论中可能成立的是( )
A.sin α＝且cos α＝
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α是第二象限角时，tan α＝－
解析 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案 B
2.若α∈且sin αcos α＝，则sin α＋cos α＝_________________________.
解析 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋＝，又∵α∈，sin α>0，cos α>0，∴sin α＋cos α＝.
答案
3.若＝－1，则tan α＝________.
解析 原式可化为＝－1.则tan α＝2.
答案 2
[微思考]
同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
提示 平方关系对任意角都成立，商数关系只有当α≠kπ＋(k∈Z)时成立.
题型一 同角三角函数的基本关系及简单应用
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
解 ∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
规律方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
【训练1】 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
题型二 三角函数式的化简
【例2】 化简： 注意弦切互化，尽量减少函数名称
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
解 (1)－
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝
规律方法 三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【训练2】 化简＋(1＋tan2α)cos2α.
解 原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
题型三 三角函数式的求值
方向1 弦切互化求值
【例3－1】 已知tan α＝2.
(1)求的值；
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
解 (1)法一 (代入法)∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α.
∴＝＝－.
法二 (弦化切)∵tan α＝2.
＝＝＝＝－.
(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝
＝＝＝.
规律方法 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值.
方向2 sin α±cos α型求值问题 注意判断符号
【例3－2】 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.
解 因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝
＝＝.
规律方法 已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练3】 (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝________.
解析 (1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sin αcos α＝＝＝，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－.
答案 (1)－ (2)或－
题型四 三角恒等式的证明
方向1 一般恒等式的证明
【例4－1】 求证：＝.
证明 法一 左边＝
＝＝
＝＝右边.
所以等式成立.
法二 右边＝＝
＝
＝＝左边.
所以等式成立.
规律方法 证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
方向2 条件恒等式的证明
【例4－2】 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
所以＋1＝2(＋1)，
通分可得＝，
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
规律方法 含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
【训练4】 (1)求证：＝；
(2)已知＋＝1，求证＋＝1.
证明 (1)∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
(2)设sin2A＝m(0
由＋＝1，得＋＝1，
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.
一、素养落地
1.通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.
3.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.
二、素养训练
1.若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A. B.－
C. D.－
解析 由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.
答案 B
2.已知cos(α－2π)＝－，α为第二象限角，则sin α＝( )
A. B.－
C.± D.±
解析 ∵cos(α－2π)＝cos α＝－，又α为第二象限角，∴sin α＝＝＝，故选A.
答案 A
3.若α∈且sin 3α＝，则cos 3α＝( )
A.－ B.
C.－ D.
解析 ∵α∈，∴3α∈，∴cos 3α>0，
∴cos 3α＝＝＝.
答案 B
4.已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值是( )
A. B.－
C. D.－
解析 ∵<α<，∴sin α>cos α，cos α－sin α<0.
∴cos α－sin α＝－＝－＝－.
答案 B
5.已知＝2，计算下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
解 由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
基础达标
一、选择题
1.化简的结果是( )
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.－cos 160°
解析 ＝＝|cos 160°|
＝－cos 160°.
答案 D
2.已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于( )
A. B.－
C.－ D.
解析 因为sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－.
答案 C
3.已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 ∵sin α＝，α为第二象限角，∴cos α＝－，
∴tan α＝－.
答案 A
4.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，∴sin α·cos α＝－<0，∴α∈.
答案 B
5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B.
C.1 D.
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
答案 C
二、填空题
6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
解析 (1＋tan215°)cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.
答案 1
7.已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
解析 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，又∵α∈，∴cos α＝－.
答案 －
8.已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－.
答案 －
三、解答题
9.已知tan α＝2，求下列代数式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
10.求证：＝.
证明 法一 ∵左边＝
＝＝
＝
＝＝＝右边.
∴原等式成立.
法二 ∵右边＝＝；
左边＝＝
＝＝.
∴左边＝右边，原等式成立.
能力提升
11.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求m的值.
解 (1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，
将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，
由(1)，知＝，所以m＝.
此时Δ＝(＋1)2－4×2×＝(－1)2>0，∴m＝符合题意.
12.(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现.
(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.
(4)推测x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.
(1)解 cos4－sin4＝
＝cos2－sin2＝－＝＝cos.
(2)解 cos4－sin4＝
＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.
(3)证明 cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.
(4)解 推测cos2x－sin2x＝cos 2x.
5.2.2 同角三角函数的基本关系
课标要求
素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.
通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
问题 既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
蝴蝶效应
提示 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z).
1.同角三角函数的基本关系 注意角的范围
描述方式
基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
sin2α＋cos2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
tan__α＝(α≠kπ＋，k∈Z)
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切
2.同角三角函数基本关系式的变形 公式的熟练程度决定解题的速度
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos__αtan__α；cos α＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.sin2α＋cos2β＝1.(×)
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
2.sin2＋cos2＝1.(√)
3.对任意的角α，都有tan α＝成立.(×)
提示 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立.
4.若sin α＝，则cos α＝.(×)
提示 cos α＝±.
[微训练]
1.下列四个结论中可能成立的是( )
A.sin α＝且cos α＝
B.sin α＝0且cos α＝－1
C.tan α＝1且cos α＝－1
D.α是第二象限角时，tan α＝－
解析 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案 B
2.若α∈且sin αcos α＝，则sin α＋cos α＝_________________________.
解析 (sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝1＋＝，又∵α∈，sin α>0，cos α>0，∴sin α＋cos α＝.
答案
3.若＝－1，则tan α＝________.
解析 原式可化为＝－1.则tan α＝2.
答案 2
[微思考]
同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
提示 平方关系对任意角都成立，商数关系只有当α≠kπ＋(k∈Z)时成立.
题型一 同角三角函数的基本关系及简单应用
【例1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
解 ∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
规律方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
【训练1】 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
题型二 三角函数式的化简
【例2】 化简： 注意弦切互化，尽量减少函数名称
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
解 (1)－
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝
规律方法 三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
【训练2】 化简＋(1＋tan2α)cos2α.
解 原式＝＋cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
题型三 三角函数式的求值
方向1 弦切互化求值
【例3－1】 已知tan α＝2.
(1)求的值；
(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
解 (1)法一 (代入法)∵tan α＝2，∴＝2，∴sin α＝2cos α.
∴＝＝－.
法二 (弦化切)∵tan α＝2.
＝＝＝＝－.
(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝
＝＝＝.
规律方法 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法
(1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
(2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.
(3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值.
方向2 sin α±cos α型求值问题 注意判断符号
【例3－2】 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值.
解 因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝，
即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
所以sin θcos θ＝－.
由上知，θ为第二象限的角，
所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝
＝＝.
规律方法 已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
【训练3】 (1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知2cos2α－3sin αcos α＝，则tan α＝________.
解析 (1)∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
(2)由题中等式易知cos α≠0，
则2cos2α－3sin αcos α＝＝＝，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，
即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
解得tan α＝或tan α＝－.
答案 (1)－ (2)或－
题型四 三角恒等式的证明
方向1 一般恒等式的证明
【例4－1】 求证：＝.
证明 法一 左边＝
＝＝
＝＝右边.
所以等式成立.
法二 右边＝＝
＝
＝＝左边.
所以等式成立.
规律方法 证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc，或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
方向2 条件恒等式的证明
【例4－2】 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
所以＋1＝2(＋1)，
通分可得＝，
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
规律方法 含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
【训练4】 (1)求证：＝；
(2)已知＋＝1，求证＋＝1.
证明 (1)∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
(2)设sin2A＝m(0
由＋＝1，得＋＝1，
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.
一、素养落地
1.通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.
2.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.
3.在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取.
二、素养训练
1.若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A. B.－
C. D.－
解析 由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.
答案 B
2.已知cos(α－2π)＝－，α为第二象限角，则sin α＝( )
A. B.－
C.± D.±
解析 ∵cos(α－2π)＝cos α＝－，又α为第二象限角，∴sin α＝＝＝，故选A.
答案 A
3.若α∈且sin 3α＝，则cos 3α＝( )
A.－ B.
C.－ D.
解析 ∵α∈，∴3α∈，∴cos 3α>0，
∴cos 3α＝＝＝.
答案 B
4.已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值是( )
A. B.－
C. D.－
解析 ∵<α<，∴sin α>cos α，cos α－sin α<0.
∴cos α－sin α＝－＝－＝－.
答案 B
5.已知＝2，计算下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
解 由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
基础达标
一、选择题
1.化简的结果是( )
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.－cos 160°
解析 ＝＝|cos 160°|
＝－cos 160°.
答案 D
2.已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于( )
A. B.－
C.－ D.
解析 因为sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－.
答案 C
3.已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 ∵sin α＝，α为第二象限角，∴cos α＝－，
∴tan α＝－.
答案 A
4.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，∴sin α·cos α＝－<0，∴α∈.
答案 B
5.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B.
C.1 D.
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.
答案 C
二、填空题
6.化简(1＋tan215°)·cos215°＝________.
解析 (1＋tan215°)cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1.
答案 1
7.已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.
解析 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，又∵α∈，∴cos α＝－.
答案 －
8.已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________.
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－.
答案 －
三、解答题
9.已知tan α＝2，求下列代数式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
10.求证：＝.
证明 法一 ∵左边＝
＝＝
＝
＝＝＝右边.
∴原等式成立.
法二 ∵右边＝＝；
左边＝＝
＝＝.
∴左边＝右边，原等式成立.
能力提升
11.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求m的值.
解 (1)由题意，得
所以＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，
将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，
由(1)，知＝，所以m＝.
此时Δ＝(＋1)2－4×2×＝(－1)2>0，∴m＝符合题意.
12.(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
(2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现.
(3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x.
(4)推测x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.
(1)解 cos4－sin4＝
＝cos2－sin2＝－＝＝cos.
(2)解 cos4－sin4＝
＝cos2－sin2＝－＝0＝cos.
(3)证明 cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.
(4)解 推测cos2x－sin2x＝cos 2x.
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