高中数学必修第一册第五章5.5.1第二课时《两角和与差的正弦、余弦公式》导学案-2019人教A版

第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式

教材知识探究

乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.

问题　1.你能用类比的方法，由cos(α－β)推导出cos(α＋β)吗？

2.两角和与差的正弦公式如何推导出来？

提示　1.因为α＋β＝α－(－β)，所以cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]，然后利用两角差的余弦公式即可得到.

2.sin(α＋β)＝cos＝cos，sin(α－β)＝cos＝cos

然后再利用两角差的余弦公式与诱导公式得到结论.

1.三类公式　理清公式的结构特征、避免混淆公式

2.S(α＋β)，C(α＋β)叫做和角公式，S(α－β)，C(α－β)叫做差角公式.

教材拓展补遗

[微判断]

1.sin(α＋β)＝sin α＋sin β 一定不成立.(×)

提示　提示当α＝β＝0时，公式成立.

2.sin(α－β)＝sin α－sin β恒成立.(×)

提示　根据公式不能恒成立.

3.sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝.(×)

提示　sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin 30°＝.

4.cos 71°sin 11°－sin 71°cos 11°＝－.(√)

[微训练]

1.cos 75°＝________.

解析　cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°·cos 45°－sin 30°sin 45°＝.

答案　

2.若sin α＝，α∈(0，)，则sin(α＋)＝________.

解析　易得cos α＝，故sin(α＋)＝sin αcos＋cos αsin＝.

答案　

[微思考]

1.试推导公式sin(α＋β)与sin(α－β).

提示　(1)sin(α＋β)＝cos

＝cos

＝coscos β＋sinsin β

＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)法一　sin(α－β)

＝cos

＝cos

＝coscos β－sinsin β

＝sin αcos β－cos αsin β.

法二　用－β代替sin(α＋β)中的β，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin α·cos (－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.

2.和(差)角公式中，α，β都是任意角，如果α为特殊角，你能从和(差)公式推导出诱导公式吗？

提示　任举一例，推导sin＝cos α.

解析　sin＝sincos α＋cossin α＝1·cos α＋0·sin α＝cos α.

题型一　公式的正用和逆用

【例1】　求值：

(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝________；

(2)sin 15°＋sin 75°＝________；

(3)已知α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则sin(α＋β)的值为________

sin(α－β)的值为________.

解析　(1)sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝.

(2)sin 15°＋sin 75°＝sin (45°－30°)＋sin(45°＋30°)

＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30°＝2sin 45°

cos 30°＝.

(3)∵α，β都是锐角，且sin α＝，sin β＝，

∴cos α＝＝＝，

cos β＝＝＝.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.

答案　(1)　(2)　(3)　

规律方法　探究解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.

【训练1】　(1)化简：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝________；

解析　原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.

答案　

(2)求值：＝________.

解析　原式＝

＝

＝＝＝＝＝2－.

答案　2－

题型二　给值求值

【例2】　已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值.            观察角＋α＋＋β＝π＋(α＋β)结合诱导公式即可

解　因为<α<，所以<＋α<π.

因为cos＝－，

所以sin＝.

因为0<β<，

所以<＋β<π.

因为sin＝，

所以cos＝－.

因为＋＝π＋α＋β，

所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]

＝－sin

＝－sincos－cossin

＝－×－×＝.

规律方法　给值求值的解题策略

(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；

②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

【训练2】　已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝________.

解析　由0<α<<β<π，得<α＋β<，又sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos α＝，cos(α＋β)＝－，

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝×－(－)×＝.

答案　

题型三　给值求角  

【例3】　已知sin＝，sin＝，且α－∈，β－∈，求的值.

解　(1)∵α－∈，β－∈，

∴0<<π，cos＝，cos＝.

∴cos＝cos

＝coscos－sin sin

＝×－×＝，

∴＝.

规律方法　已知三角函数值求角的方法

已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.

【训练3】　设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，求α＋β的值.

解　∵<α<π，<β<π且sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝－，sin β＝，且π<α＋β<2π，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝·－·＝－＝，

∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.

一、素养落地

1.通过运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.

2.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin＝sin·cos α－cossin α＝－cos α.

3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：

sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)

＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.

二、素养训练

1.sin 7°cos 37°－sin 83°sin 37°的值为(　　)

A.－   B.－  C.   D.

解析　原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.

答案　B

2.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos αcos β的值为(　　)

A.0   B.

C.0或   D.0或±

解析　cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，

两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.

答案　A

3.求值：cos＋sin＝________.

解析　原式＝sincos＋cossin＝sin＝sin＝.

答案　

4.函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的值域是________.

解析　∵f(x)＝2＝2sin.

∴f(x)∈[－2，2].

答案　[－2，2]

5.化简：sincos－cos·sin.

解　原式＝sincos－sin·cos＝sin

＝sin＝sin cos －cos sin

＝×－×＝.

基础达标

一、选择题

1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)

A.－   B.－ 

C.   D.

解析　原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°

＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°

＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.

答案　B

2.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A.－   B. 

C.－   D.

解析　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.

答案　D

3.函数f(x)＝cos－cos是(　　)

A.周期为π的偶函数   B.周期为2π的偶函数

C.周期为π的奇函数   D.周期为2π的奇函数

解析　因为f(x)＝cos－cos＝－＝－sin x，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.

又f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.

答案　D

4.若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)

A.1   B.－1 

C.0   D.±1

解析　sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.

答案　C

5.若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析　∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α，β∈，

∴0<α＋β<，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝.

答案　C

二、填空题

6.已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β＝________.

解析　由已知得cos(α＋β)＝0，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.

答案　±1

7.求值：cos－sin＝________.

解析　原式＝

＝

＝sin＝sin＝.

答案　

8.化简：＝________.

解析　原式＝

＝＝1.

答案　1

三、解答题

9.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值.

解　因为<β<α<，

所以0<α－β<，π<α＋β<.

又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，

所以sin(α－β)＝＝ ＝，

cos(α＋β)＝－＝－ ＝－.

所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]

＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)

＝×(－)＋×(－)＝－.

10.若0<α<，－<β<0，cos＝－，

cos＝，求cos的值.

解　∵cos＝－，∴cos＝.

∵0<α<，∴<α＋<，∴sin＝.

∵－<β<0，∴<－<.

又cos＝，∴sin＝，

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝.

能力提升

11.求f(x)＝cos x＋cos(x＋)，

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间.

解　f(x)＝cos x＋cos xcos－sin xsin＝cos x－sin x＝(cos x－sin x)＝cos(x＋).

(1)T＝2π.

(2)由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[－＋2kπ，－＋2kπ](k∈Z).

12.已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.

解　(1)∵f(x)＝Asin，且f＝，

∴Asin＝，即Asin＝，∴A＝3.

(2)由(1)知f(x)＝3sin，

∵f(θ)－f(－θ)＝，

∴3sin－3sin＝，

展开得3－3＝，化简得sin θ＝.

∵θ∈，∴cos θ＝.

f＝3sin ＝3sin＝3cos θ＝.