高中数学必修第一册第四章4.4.3《不同函数增长的差异》学案-2019人教A版

这是一份高中数学必修第一册第四章4.4.3《不同函数增长的差异》学案-2019人教A版，共12页。
4.4.3　不同函数增长的差异
学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．

知识点　三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长
增长后果
会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax


1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　√　)
2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　√　)
3．函数衰减的速度越来越慢．(　√　)
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．(　×　)

一、几类函数模型增长差异的比较
例1　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907

关于x呈指数函数变化的变量是________．
答案　y2
解析　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
反思感悟　常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．
跟踪训练1　有一组数据如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.01
1.39
2.05
2.12
2.41

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t B．　C．v＝2t－1 D．v＝2t－2
答案　A
解析　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越慢，排除C和D，故选A.
二、函数模型的选择问题
例2　某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7

解　据表中数据作出散点图如图．

由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来刻画h与t的关系．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
反思感悟　不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律．
跟踪训练2　(1)某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
答案　C
解析　对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；
对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；
对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；
对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.60)和g(x)＝x2(x>0)的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(3)>f(3)．
反思感悟　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．

1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝50x2 D．y＝ex
答案　D
解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D.
2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
25
45
65
85
105
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.4

则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，直线型函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
答案　C
解析　通过指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律，故选C.
3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
答案　D
解析　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当01时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>1”，则结论不成立．
16．某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．
解　(1)由题意知y＝logax是增函数，
∴a>1，
又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，
∴∴a＝2，
∴y＝
(2)由题意得解得16≤x≤100，
∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．