4.3.2　对数的运算

教材知识探究

大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？

问题　观察下列各式，你能从中猜想出什么结论吗？

log2(2×4)＝log22＋log24＝3；

log3(3×9)＝log33＋log39＝3；

log2(4×8)＝log24＋log28＝5.

提示　如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：loga(M·N)＝logaM＋logaN成立.

1.对数运算性质　熟记对数运算性质，切忌记混性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).

拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)

2.换底公式　 经常转化为常用对数和自然对数

对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).

特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).

教材拓展补遗

[微判断]

1.log2x2＝2log2x.(×)

2.loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3).(×)

提示　(1)(2)中必须保证对数的真数大于0才能有意义，否则错误.

3.logaM·logaN＝loga(M＋N).(×)

提示　公式应为logaM＋logaN＝loga(M·N)(a>0且a≠1，M>0，N>0).

4.log52＝.(√)

[微训练]

1.log5＋log53等于________.

答案　0

2.log29×log34等于________.

答案　4

3.log35·log56·log69＝________.

解析　原式＝··＝＝＝2.

答案　2

[微思考]

1.对数运算性质的适用条件是什么？

提示　对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即a>0，a≠1，M>0，N>0.若去掉此条件，性质不一定成立，如log3≠log3(－8)－log3(－3).

2.换底公式中底数c是特定数还是任意数？

提示　是大于0且不等于1的任意数.

题型一　利用对数的运算性质化简、求值 

【例1】　(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(2)；

(3)log535－2log5＋log57－log51.8.

解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2

＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2

＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2

＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2

＝lg 5＋lg 2＝1.

(2)原式＝

＝＝.

(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55

＝2log55＝2.

规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法

(1)基本原则：

①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.

(2)两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

【训练1】　计算下列各式的值：

(1)lg－lg ＋lg；

(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.

解　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10

＝.

法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg

＝lg(·)＝lg＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

题型二　利用换底公式化简、求值

【例2】　(1)计算(log43＋log83)(log32＋log92).

(2)已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.

解　(1)原式＝＝

·＝×＝.

(2)法一　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.

于是log3645＝＝＝

＝＝.

法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.

于是log3645＝＝＝.

规律方法　换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算.可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.

【训练2】　(1)已知log1227＝a，求log616的值；

(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.

解　(1)由log1227＝a，得＝a，

∴lg 2＝lg 3.

∴log616＝＝＝＝.

(2)法一　原式＝·

＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.

法二　原式＝

＝

＝＝13.

法三　原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)

＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13.

题型三　利用对数式与指数式的互化解题 

【例3】　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值； 

(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

解　(1)法一　由3a＝4b＝36，

得a＝log336，b＝log436，

由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.

法二　由3a＝4b＝36，

两边取以6为底数的对数，得

alog63＝blog64＝log636＝2，

∴＝log63，＝log64＝log62，

∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，

得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，

∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

规律方法　利用对数式与指数式互化求值的方法

(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.

【训练3】　已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.

解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，

故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，

∴M＝.

答案　

一、素养落地

1.通过对数运算性质的推导过程培养数学抽象素养，通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升数学运算素养.

2.在运用换底公式时，要根据需要恰当选择底数，简化运算.

3.运用对数的运算性质应注意：

(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.

(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.

(3)在运算过程中避免出现以下错误：

①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，

③logaM±logaN＝loga(M±N).

二、素养训练

1.lg －2lg ＋lg 等于(　　)

A.lg 2   B.lg 3

C.lg 4   D.lg 5

解析　lg －2lg ＋lg ＝lg＝lg 2.故选A.

答案　A

2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(　　)

A.a－2   B.5a－2

C.3a－(1＋a)2   D.3a－a2

解析　原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.

答案　A

3.已知2m＝5n＝10，则＋＝________.

解析　因为m＝log210，n＝log510，

所以＋＝log102＋log105＝lg 10＝1.

答案　1

4.若logab·log3a＝4，则b的值为________.

解析　logab·log3a＝·＝＝4，

所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.

答案　81

5.求下列各式的值：

(1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；

(2).

解　(1)法一　原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

法二　原式＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18

＝lg＝lg 1＝0.

(2)原式＝＝＝＝.

基础达标

一、选择题

1.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)

A.2   B. 

C.100   D.

解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－＝2，∴ab＝100.故选C.

答案　C

2.化简log612－2log6的结果为(　　)

A.6   B.12 

C.log6   D.

解析　原式＝log6－log62＝log6＝log6.

答案　C

3.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)

A.6   B.9 

C.12   D.18

解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，

∴＝logk2，＝logk3，

∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.

答案　D

4.已知x，y为正实数，则(　　)

A.2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y   B.2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y

C.2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y   D.2lg(xy)＝2lg x·2lg y

解析　2lg x·2lg y＝2lg x＋lg y＝2lg(xy).故选D.

答案　D

5.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)

A.3   B.8

C.4   D.log48

解析　由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋＝log23＋(3log22－log23)＝3.

答案　A

二、填空题

6.计算100(lg 9－lg 2)－log98·log4＝________.

解析　100(lg 9－lg 2)－log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.

答案　2

7.已知3a＝2，3b＝，则32a－b＝________.

解析　∵3a＝2，3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.

答案　20

8.已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f＝4，则f(2 019)＝________.

解析　由f＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 019－blog32 019＝2.∴alog22 019＋blog32 019＝－2.

∴f(2 019)＝alog22 019＋blog32 019＋2＝－2＋2＝0.

答案　0

三、解答题

9.求值：(1)lg＋lg；

(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57.

解　(1)lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.

(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.

10.计算下列各式的值：

(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72；

(2)2log32－log3＋log38－52log53.

解　(1)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.

(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532

＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.

能力提升

11.2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年).

解　设经过x年国民生产总值为2018年的2倍.

经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，

经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，

…

经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，

∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.

∴x＝≈≈9.

故约经过9年，国民生产总值是2018年的2倍.

12.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1).

(1)若设x＝at，试用a，t表示y；

(2)若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和x的值.

解　(1)由换底公式，

得logax＋－＝3(a>1)，

所以logay＝(logax)2－3logax＋3.

当x＝at时，logax＝logaat＝t，

所以logay＝t2－3t＋3.

所以y＝at2－3t＋3(t≠0).

(2)y＝a(t－)2＋，因为0<t≤2，a>1，

所以当t＝时，ymin＝a＝8.

所以a＝16，此时x＝a＝64.