高中数学必修第一册第五章5.3 第1课时《公式二、公式三和公式四》学案-2019人教A版

5.3　诱导公式

第1课时　公式二、公式三和公式四

1．公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，

cos(π＋α)＝－cos_α，

tan(π＋α)＝tan_α.

2．公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，

cos(－α)＝cos_α，

tan(－α)＝－tan_α.

3．公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，

cos(π－α)＝－cos_α，

tan(π－α)＝－tan_α.

思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？

(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？

提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.

(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．

1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　　)

①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　 D．4

C　[因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，

故①正确，②错误；

cos α＝cos(π－β)＝－cos β，

故③正确，④错误；

tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．

故选C.]

2．tan等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

C　[tan＝tan＝tan

＝tan＝－tan＝－.]

3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.

3　[tan(π＋α)＝tan α＝3.]

4．求值：(1)sin＝________.

(2)cos＝________.

(1)　(2)－　[(1)sin＝sin

＝sin＝.

(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.]

给角求值问题

【例1】　求下列各三角函数值：

(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．

[解]　(1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.

法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)

＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.

(2)法一：cos＝cos

＝cos＝cos＝－cos＝－.

法二：cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)

＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.

利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1“负化正”——用公式一或三来转化；

2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；

3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；

4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.

1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；

(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．

[解]　(1)原式＝＋

＝＋

＝＋＝0.

(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]

＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)

＝sin 66°－sin 66°＝0.

给值(式)求值问题

【例2】　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)

A.　　　　　 B.

C.   D．－

(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．

[思路点拨]　(1)

→

(2)→

→

(1)A　[sin(α－360°)－cos(180°－α)

＝sin α＋cos α＝m，

sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α

＝＝.]

(2)[解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，

∴sin(α－75°)＝－

＝－＝－，

∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]

＝－sin(α－75°)＝.

解决条件求值问题的两技巧

1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.

2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.

利用诱导公式化简问题

[探究问题]

1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？

提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．

当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；

当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.

2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？

提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)

【例3】　设k为整数，化简：

.

[思路点拨]　本题常用的解决方法有两种：

①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．

[解]　法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；

当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.

法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，

sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．

所以原式＝＝－1.

三角函数式化简的常用方法

1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.

2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.

提醒：注意分类讨论思想的应用.

2．化简：(1)；

(2).

[解]　(1)原式＝＝＝－tan α.

(2)原式

＝

＝

＝＝－1.

1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．

2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

1．思考辨析

(1)公式二～四对任意角α都成立．(　　)

(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　)

(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　)

[提示]　(1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.

(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，

故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．

(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)

A.　　　B．－　　　C．±　　　D.

B　[因为sin(π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－.

又α是第四象限角，所以cos α＝，

所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]

3.的值等于________．

－2　[原式＝

＝

＝＝＝－2.]

4．化简(1)；

(2).

[解]　(1)

＝

＝＝－cos2α.

(2)

＝＝－cos α.