数学高中必修第一册第五章《本章综合与测试》导学案2-统编人教A版

这是一份数学高中必修第一册第五章《本章综合与测试》导学案2-统编人教A版，共17页。
章末复习课

[网络构建]

[核心归纳]
1.任意角与弧度制
(1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
(2)角度与弧度的互化：1°＝ rad，1 rad＝()°.
(3)弧长公式：l＝|α|r，
扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2.
2.任意角的三角函数
设任意角α的终边上任意一点P(x，y)，r＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
3.同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1；＝tan α.
4.诱导公式
(1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
(2)功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用.
5.三角函数的图象
(1)正弦曲线：

(2)余弦曲线：

(3)正切曲线：

6.三角函数的性质(表中k∈Z)

y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠＋kπ}
单调性
增区间：[－＋2kπ，＋2kπ]，
减区间：[＋
2kπ，＋2kπ]
增区间：[－π＋2kπ，2kπ]，
减区间：[2kπ，
π＋2kπ]
增区间：(－＋kπ，＋kπ)
周期性
2π
2π
π
图象的对称轴
x＝＋kπ
x＝kπ
无
图象的对称中心
(kπ，0)
(＋kπ，0)
(kπ，0)
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β
tan(α±β)＝
8.倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝
9.辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角且tan φ＝)(或asin x＋bcos x＝cos(x－φ)，tan φ＝)

要点一　任意角三角函数的定义
利用定义求三角函数值的两种方法：
(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.
(2)取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【例1】　已知角α的终边经过点P(3m－9，m＋2).
(1)若m＝2，求5sin α＋3tan α的值；
(2)若cos α≤0，且sin α>0，求实数m的取值范围.
解　(1)若m＝2，则P(－3，4)，
所以x＝－3，y＝4，r＝5，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
故5sin α＋3tan α＝5×＋3×＝4－4＝0.
(2)由题意知，cos α＝≤0，sin α＝>0，
即x≤0，y>0，
所以
所以－20，∴m2＝，∴m＝.故选B.
答案　B
要点二　同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数基本关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用＝tan α可以实现角α弦切互化.
(2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α.
(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解.
【例2】　(1)已知tan α＝，α∈，则sin α－cos α＝________.
解析　因为tan α＝＝，
由解得
所以sin α－cos α＝－＝－.
答案　－
(2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
①求tan α的值；
②把用tan α表示出来，并求其值.
解　①由sin α＋cos α＝，
得1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－，
因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α