高中数学必修第一册第五章5.3 第2课时《公式五和公式六》学案-2019人教A版

这是一份高中数学必修第一册第五章5.3 第2课时《公式五和公式六》学案-2019人教A版，共10页。
第2课时　公式五和公式六 学 习 目 标核 心 素 养1.了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提示逻辑推理素养.1．公式五(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．(2)公式：sin＝cos_α，cos＝sin_α.2．公式六(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.(2)公式：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.思考：如何由公式四及公式五推导公式六？提示：sin＝sin＝sin＝cos α.cos＝cos＝－cos＝－sin α.1．下列与sin θ的值相等的是(　　)A．sin(π＋θ)　　　　 B．sinC．cos   D．cosC　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；cos＝sin θ；cos＝－sin θ.]2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.m　[cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)＝sin 19°55′＝m.]3．计算：sin211°＋sin279°＝________.1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cos 11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]4．化简sin＝________.－cos α　[sin＝sin＝－sin＝－cos α.]利用诱导公式化简求值【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)A.　　 B.C．－   D．－(2)已知sin＝，则cos的值为________．[思路点拨]　(1)→(2)→(1)B　(2)　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝.(2)cos＝cos＝sin＝.]1．将例1(2)的条件中的“－α”改为“＋α”，求cos的值．[解]　cos＝cos＝－sin＝－.2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．[解]　因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sin＝，所以－α是第二象限角，所以cos＝－，所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.解决化简求值问题的策略：1首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.提醒：常见的互余关系有：常见的互补关系有：利用诱导公式证明恒等式【例2】　(1)求证：＝.(2)求证：＝－tan θ.[证明]　(1)右边＝＝＝＝＝＝＝左边，所以原等式成立．(2)左边＝＝＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．三角恒等式的证明的策略1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.1．求证：＝－1.[证明]　因为＝＝＝＝－1＝右边，所以原等式成立．诱导公式的综合应用[探究问题]1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？提示：“奇变偶不变、符号看象限”．【例3】　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．[思路点拨]　→→→[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.又α是第三象限角，所以cos α＝－，tan α＝＝，所以·tan2(π－α)＝·tan2α＝·tan2α＝－tan2α＝－.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称：一般是弦切互化.三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值．[解]　sin＝－cos α，cos＝cos＝－sin α，∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝，②－①得(sin α－cos α)2＝.又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，∴sin α＋cos α＝，③sin α－cos α＝，④(③＋④)÷2得sin α＝，(③－④)÷2得cos α＝.1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．2．由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．1．思考辨析(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．(　　)(2)在△ABC中，sin＝cos.(　　)(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos α.(　　)[提示]　(1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.(3)正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)A．第一象限角　　 B．第二象限角C．第三角限角   D．第四象限角B　[由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]3．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________.　[因为cos α＝，且α为第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以cos＝－sin α＝.]4．化简：－.[解]　原式＝－＝sin α－(－sin α)＝2sin α.