高中数学必修第一册第五章5.5.1第三课时《两角和与差的正切公式》导学案-2019人教A版

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第三课时　两角和与差的正切公式课标要求素养要求1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.问题　能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值.提示　能；利用两角和与差的正切公式可求tan(α－β)，tan (α＋β)的值.1.两角和与差的正切公式　注意公式中的符号名称简记符号公式使用条件两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠±1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝2.两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β).tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β).tan αtan β＝1－.(2)T(α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β).tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β).tan αtan β＝－1教材拓展补遗[微判断]1.存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立.(√)2.对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(×)提示　两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z).3.tan能根据公式tan(α－β)直接展开.(×)提示　的正切值不存在.[微训练]1.若tan＝，则tan α＝________.解析　tan α＝tan＝＝＝.答案　2.已知tan α＝2，则tan＝________.解析　tan＝＝－3.答案　－33.＝________.解析　原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.答案　[微思考]你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？提示　tan(α＋β)＝＝＝＝类似地可以推导tan(α－β)，也可用－β代替tan(α＋β)中的β，tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝＝.题型一　公式的正用、逆用、变形用【例1】　(1)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan__β＝(　　) A.   B.  C.   D.解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝.答案　A(2)＝________；解析　原式＝＝＝＝－1.答案　－1 (3)求值：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝________.    解析　∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝－tan 23°tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.答案　规律方法　探究公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.【训练1】　求值：(1)；(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°；(3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°).解　(1)＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝.(2)由tan(α＋β)＝的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得：tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35，所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1.(3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.题型二　条件求值问题【例2】　(1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　)A.－3   B.－1  C.1   D.3解析　由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.答案　A(2)已知sin__α＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　)A.－   B.  C.－   D.解析　∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－，∴tan α＝－.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－.答案　C规律方法　给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.【训练2】　已知tan(α＋β)＝，tan＝.求tan的值.解　tan＝tan＝＝＝.题型三　给值求角问题 【例3】　(1)在△ABC中，tan A＝，tan B＝－2，则角C＝________；解析　tan(A＋B)＝＝＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.答案　(2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1，∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈，∴α＋β∈(π，2π).∴α＋β＝.规律方法　探究利用公式T(α±β)求角的步骤(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角.【训练3】　已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)A.   B.  C.π   D.解析　∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋kπ(k∈Z).又∵α为锐角，∴α＝－＝.答案　C一、素养落地1.通过诱导公式、同角的三角函数关系式以及两角和与差的公式的综合应用，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.2.公式T(α±β)的逆用时，一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等.要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝.3.只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.二、素养训练1.已知α，β为任意角，则下列等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos＝－sin α；④tan(α－β)＝.其中恒成立的等式有(　　)A.2个   B.3个  C.4个   D.1个解析　①②③恒成立.答案　B2.已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β＝(　　)A.2   B.1  C.   D.4解析　∵tan(α＋β)＝＝4，∴＝4，∴tan αtan β＝.答案　C3.tan＝，则tan α＝________.解析　tan α＝tan＝＝.答案　4.求值：＝________.解析　原式＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－.答案　－5.求值：tan ＝________.解析　tan＝－tan＝－tan＝－＝－2＋.答案　－2＋三、审题答题示范(六)　给值求值、求角【典型示例】 (12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β①，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和②.(1)求tan(α＋β)③的值；(2)求α＋2β④的值.联想解题 看到①想到α、β的范围，可求α＋2β的范围.看到②想到任意角的三角函数的定义，可得cos α＝.cos β＝，从而先求得sin α＝，sin β＝.看到③想到和角公式，从而求tan α、tan β.看到④想到求α＋2β的某一三角函数值.满分示范解　(1)由题意可得cos α＝，cos β＝.2分由于α，β为锐角，所以sin α＝＝，sin β＝＝.从而tan α＝7，tan β＝，4分所以tan(α＋β)＝＝＝－3.6分(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1.8分又0<α<，0<β<，所以0<α＋2β<，10分从而α＋2β＝.12分满分心得1.解决此类问题思路是(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数各角入手)；(3)将已知条件代入，化简求值.2.在求角时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.3.若角的范围是，选正、余弦均可；若角的范围为(0，π)，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数.基础达标一、选择题1.若tan＝2，则tan α的值为(　　)A.   B.－  C.   D.－解析　tan(α＋)＝＝2，解得tan α＝.答案　A2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)A.1   B.2  C.－2   D.不确定解析　(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.答案　B3.A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)A.钝角三角形   B.锐角三角形C.直角三角形   D.无法确定解析　∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，∴tan(A＋B)＝＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，∴C为钝角.答案　A4.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan(α＋)＝(　　)A.   B. C.   D.解析　tan＝tan＝＝，故选C.答案　C5.下列式子结果为的是(　　)①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·cos 65°)；③；④.A.①②   B.③  C.①②③   D.②③④解析　对于①利用正切的变形公式可得原式＝；对于②原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.对于③原式＝＝tan 60°＝.对于④原式＝＝，故选C.答案　C二、填空题6.已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.解析　tan＝tan[(α－)＋(β－)]＝＝.答案　7.已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____.解析　∵B为锐角，sin B＝，∴cos B＝，∴tan B＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝.答案　8.已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析　由条件知＝＝3，则tan α＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.答案　三、解答题9.已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.解　由已知有∴tan(α＋β)＝＝＝.∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝＝＝＝－3.10.已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值.解　∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，tan(α＋β)＝＝＝1.又∵0<α<，π<β<，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.能力提升11.已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值.解　因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，所以tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－＝－.12.已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.解　∵tan(α－β)＝，tan β＝－，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝<1.∵α∈(0，π)，∴0<α<，0<2α<.又tan β＝－<0，β∈(0，π)，∴<β<π，∴－π<2α－β<0.又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1，∴2α－β＝－.