高中数学必修第一册第三章3.2.1第2课时《函数的最大(小)值》学案-2019人教A版

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第2课时　函数的最大(小)值
学习目标　1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．


知识点一　函数的最大(小)值及其几何意义

最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标

思考　函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？
答案　f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点二　求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
预习小测　自我检验
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．

答案　－1　2
2．函数y＝－x＋1在区间上的最大值为________．
答案　
3．函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________．
答案　2
4．函数y＝在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．
答案　

一、图象法求函数的最值
例1　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．
解　作出函数f(x)的图象(如图)．

由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1.
当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
反思感悟　图象法求函数最值的一般步骤

跟踪训练1　已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．
解　y＝－|x－1|＋2＝
图象如图所示，

由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为(－∞，2]．
二、利用函数的单调性求最值
例2　已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f(x)是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[3,5]且x1