高中数学必修第一册第五章5.4.2第1课时《周期性与奇偶性》学案-2019人教A版

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5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质第1课时　周期性与奇偶性学习目标　1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心． 知识点一　周期性1．函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．思考　周期函数的周期是否唯一？答案　不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0)．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.知识点二　正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考　判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？答案　若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数．1．函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　×　)2．正弦函数y＝sin x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．(　√　)3．余弦函数y＝cos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条．(　√　)    一、三角函数的周期问题例1　求下列函数的周期：(1)y＝sin；(2)y＝|sin x|.解　(1)方法一　(定义法)y＝sin＝sin＝sin，所以周期为π.方法二　(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.反思感悟　求三角函数周期的方法(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．跟踪训练1　利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cos ，x∈R；(2)y＝sin，x∈R.解　(1)因为cos (x＋4π)＝cos＝cos ，由周期函数的定义知，y＝cos 的周期为4π.(2)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. 二、三角函数的奇偶性例2　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin xcos x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，∴f(x)＝sin xcos x为奇函数．(2)函数应满足1－sin x≠0，∴函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，∴f(x)＝为非奇非偶函数．(3)由得cos x＝1，∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．反思感悟　(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．跟踪训练2　下列函数中周期为，且为偶函数的是(　　)A．y＝sin 4x   B．y＝cos xC．y＝sin   D．y＝cos答案　C解析　显然周期为的有A和C，又因为y＝sin＝cos 4x是偶函数，故选C. 三、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝.延伸探究1．若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f 的值．解　f ＝f ＝－f ＝－sin ＝－.2．若本例中函数的最小正周期变为，其他条件不变，求f 的值．解　因为f(x)的最小正周期是，所以f ＝f ＝f ＝f ＝.反思感悟　三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3　已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时f(x)的解析式．解　x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sin x，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈. 1．下列函数中，周期为的是(　　)A．y＝sin x   B．y＝sin 2xC．y＝cos    D．y＝cos 4x答案　D2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案　A解析　由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．3．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案　B解析　f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，从而函数为偶函数，且T＝＝2.4．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．答案　4解析　由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.5．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.答案　－3解析　由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.1．知识清单：(1)周期函数的概念，三角函数的周期；(2)三角函数的奇偶性；(3)周期性、奇偶性的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝.1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是(　　)A．y＝sin    B．y＝cos C．y＝cos x   D．y＝cos 2x答案　D解析　A中函数是奇函数，B，C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)答案　B解析　由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.3．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于(　　)A．x轴对称  B．原点对称　C．y轴对称  D．直线x＝对称答案　B解析　y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．4．函数y＝sin的奇偶性是(　　)A．奇函数   B．偶函数C．非奇非偶函数   D．既是奇函数也是偶函数答案　B解析　y＝sin＝sin＝cos ，故为偶函数．5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是(　　)A.  B.  C．π  D.答案　C解析　要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝________.答案　3解析　∵函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3.7．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②存在φ，使f(x)是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．答案　①④解析　当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，当φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．8．若f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝cos x－sin x，当x<0时，f(x)的解析式为_______．答案　f(x)＝－cos x－sin x解析　x<0时，－x>0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos x＋sin x，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－cos x－sin x，即x<0时，f(x)＝－cos x－sin x.9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lg(sin x＋)；(2)f(x)＝sin.解　(1)因为1＋sin2x>sin2x，所以>|sin x|≥－sin x，所以sin x＋>0，所以函数f(x)的定义域为R.f(－x)＝lg[sin(－x)＋]＝lg(－sin x＋)＝lg＝－lg(sin x＋)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)f(x)＝sin＝－cos ，x∈R.又f(－x)＝－cos＝－cos ＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解　(1)y＝sin x＋|sin x|＝图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.11．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于(　　)A．1  B.  C．0  D．－答案　B解析　f ＝f ＝f ＝sin ＝.12．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)A．10  B．11  C．12  D．13答案　D解析　因为T＝＝≤2，所以k≥4π，又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.13．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为________．答案　－解析　由已知＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，又∵φ∈，∴k＝0时，φ＝－符合条件．14．已知函数f(x)＝cos，则f(x)的最小正周期是______；f(x)的对称中心是______．答案　4π　，k∈Z解析　由f(x)＝cos，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f(x)的对称中心是，k∈Z.15．函数y＝的最小正周期是________．答案　2π解析　∵y＝sin 的最小正周期为T＝4π，而y＝的图象是把y＝sin 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝的最小正周期为T＝2π.16．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．(1)证明　∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，(2)解　∵4是f(x)的一个周期．∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.