高中数学必修第一册第五章5.4.2第2课时《单调性与最值》学案-2019人教A版

这是一份高中数学必修第一册第五章5.4.2第2课时《单调性与最值》学案-2019人教A版，共15页。
第2课时　单调性与最值
学习目标　 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．


知识点　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数
余弦函数
图象


定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在(k∈Z)上单调递增，
在(k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1

思考　正弦函数在定义域上是增函数，而余弦函数在定义域上是减函数，这种说法对吗？
答案　不正确．正弦函数在每个闭区间(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．
预习小测　自我检验
1．函数y＝2cos x＋1的值域为________．
答案　[－1,3]
2．函数y＝sin x取最大值时x＝________.
答案　＋2kπ，k∈Z
3．函数y＝sin x的值域为________．
答案　[0,1]
4．函数y＝－cos x的单调递减区间是________；单调递增区间是________．
答案　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

一、求正弦、余弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的单调区间．
解　令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
延伸探究
求函数y＝2sin的单调递减区间．
解　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，而函数y＝－2sin z的单调递减区间是(k∈Z)．
∴原函数递减时，得－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是(k∈Z)．

反思感悟　求正、余弦函数的单调区间的策略
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
跟踪训练1　求下列函数的单调递增区间：
(1)y＝cos 2x；(2)y＝sin，x∈.
解　(1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，
所以kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
所以函数y＝cos 2x的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为y＝sin＝－sin，
所以函数y＝sin的单调递增区间就是函数y＝sin的单调递减区间，
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得
2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
因为x∈，
所以所求函数的单调递增区间为.
二、三角函数值的大小比较
例2　比较下列各组中函数值的大小：
(1)cos与cos；
(2)sin 194°与cos 160°.
解　(1)cos＝cos＝cos π，
cos＝cos＝cos π，
∵π