人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件同步练习题

课时跟踪检测（六）  充分条件与必要条件

A级——学考水平达标练

1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　)

A．必要不充分条件　　 　B．充分不必要条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析：选B　∵“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．

∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.

2．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析：选B　当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析：选A　因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．

4．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)

A．0   B．2

C．4   D．16

解析：选B　由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．

5．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

解析：选A　“a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．

∴“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.

6．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．

解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．

答案：充要

7．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．

解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，

因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，

所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.

答案：3或4

9．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？

(1)若x>2，则|x|>1；

(2)若x<3，则x2<4；

(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等；

(4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生．

解：(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即中p是q的充分条件．

(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件．

(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分又不必要条件．

(4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生不成立，反之成立，即p是q的必要条件．

10．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：

(1)A∪B＝R的一个充要条件；

(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；

(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．

解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，

(1)若A∪B＝R，则b≥－2，

故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.

(2)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，

∴A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.

(3)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，

∴A∪B＝R的一个充分不必要条件b≥－1.

B级——高考水平高分练

1．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．

解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，

所以即所以－1≤a≤5.

答案：{a|－1≤a≤5}

2．“k＞4，b＜5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

解析：当k＞4，b＜5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．

由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5＜0，∴b＜5.当y＝0时，x＝＞0，∵b＜5，∴k＞4.故填“充要”．

答案：充要

3．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．

(1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件．

(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件．

(3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件．

4．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0.

两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0，

可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.

充分性：∵∠A＝90°，

∴b2＝a2－c2.①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，

可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.

将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，

即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

5．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．

解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．

理由如下：

当a，b，c∈R，a≠0时，

若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，

故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，

若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，

故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，

综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．